Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2969
2017-04-22 
В электрической схеме, состоящей из катушки индуктивностью $L$ и четырех проводящих пластин, каждая площадью $S$, расположенных на расстоянии $d$ друг от друга, ключ К разомкнут (см. рис.). Пластина 3 заряжена зарядом $q_{0}$. 1) Найти заряды пластин после замыкания ключа К в момент, когда ток через катушку максимален. 2) Найти максимальный ток через катушку. Омическим сопротивлением в схеме пренебречь.
Решение:
В тот момент, когда ток через катушку максимален, разность потенциалов между пластинами 2 и 4 равна нулю. Также нулю равна разность потенциалов между пластинами 1 и 3, поскольку они закорочены. Заряды на пластинах в этот момент изображены на рисунке. Из попарной эквипотенциальности пластин 1, 3 и 2, 4 следует, что напряженности полей в зазорах между пластинами равны по величине и направлены, как показано на рисунке. Напряженности полей между пластинами:
$E_{12} = \frac{q_{0} - q_{1}}{2 \epsilon_{0} S} - \frac{q_{1}}{2 \epsilon_{0} S} = \frac{q_{0} - 2q_{1}}{2 \epsilon_{0} S}$. (1)
$E_{23} = - \frac{q_{2}}{\epsilon_{0} S} - \frac{q_{0} - 2q_{1}}{2 \epsilon_{0} S}$. (2)
$E_{34} = \frac{q_{2}}{\epsilon_{0} S} - \frac{q_{0}}{2 \epsilon_{0}S} $, (3)
Поскольку $E_{12} = E_{23} = E_{34}$, то, приравнивая попарно (1), (2) и (2), (3), получим систему уравнений для определения $q_{1}$ и $q_{2}$:
$q_{0} = 2q_{1} - q_{2}$,
$q_{1} = 2q_{2}$.
Из этой системы следует, что $q_{1} = \frac{2}{3} q_{0}$, а $q_{2} = - \frac{1}{3} q_{0}$.
Заряд на первой пластине $\frac{2}{3} q_{0}$, на второй — $- \frac{1}{3} q_{0}$ на третьей - $\frac{1}{3} q_{0}$, на четвертой — $\frac{1}{3} q_{0}$.
2) Величину максимального тока через катушку найдем из закона сохранения энергии. Сразу после замыкания ключа ток через катушку равен нулю, а заряды на пластинах 1 и 3 равны по $\frac{q}{2}$.
Напряженность электрического поля между пластинами 1, 2 и 2, 3 равна нулю, а между пластинами 3 и 4 — $E_{1} = \frac{q_{0}}{2 \epsilon_{0} S}$. Энергия электрического поля между пластинами 3 и 4:
$W_{1} = \frac{ \epsilon_{0} E_{1}^{2}}{2} Sd + W_{вн} = \frac{q_{0}^{2} d}{8 \epsilon_{0} S} + W_{вн}$.
где $W_{вн}$ — энергия поля вне пластин.
В тот момент, когда ток через катушку достигнет максимального значения, напряженность поля по абсолютной величине во всех точках пространства между пластинами будет равна $E_{2} = \frac{q_{0}}{6 \epsilon_{0} S}$, а энергия электрического поля
$W_{2} = 3 \frac{ \epsilon_{0} E_{2}^{2}}{2} Sd + W_{вн} = \frac{q_{0}^{2}d}{24 \epsilon_{0}S} + W_{вн}$.
Энергия поля вне пластин остается неизменной и определяется суммарным зарядом пластин, который равен $q_{0}$. Закон сохранения энергии запишем в виде
$W_{1} = W_{2} + \frac{LI_{max}^{2}}{2}$,
где $I_{max}$ - максимальный ток через катушку. Подставляя значения для $W_{1}$ и $W_{2}$, получаем, что
$I_{max} = q_{0} \sqrt{ \frac{d}{6 \epsilon_{0} SL}}$.
В электрической схеме, состоящей из катушки индуктивностью $L$ и четырех проводящих пластин, каждая площадью $S$, расположенных на расстоянии $d$ друг от друга, ключ К разомкнут (см. рис.). Пластина 3 заряжена зарядом $q_{0}$. 1) Найти заряды пластин после замыкания ключа К в момент, когда ток через катушку максимален. 2) Найти максимальный ток через катушку. Омическим сопротивлением в схеме пренебречь.
Решение:
В тот момент, когда ток через катушку максимален, разность потенциалов между пластинами 2 и 4 равна нулю. Также нулю равна разность потенциалов между пластинами 1 и 3, поскольку они закорочены. Заряды на пластинах в этот момент изображены на рисунке. Из попарной эквипотенциальности пластин 1, 3 и 2, 4 следует, что напряженности полей в зазорах между пластинами равны по величине и направлены, как показано на рисунке. Напряженности полей между пластинами:
$E_{12} = \frac{q_{0} - q_{1}}{2 \epsilon_{0} S} - \frac{q_{1}}{2 \epsilon_{0} S} = \frac{q_{0} - 2q_{1}}{2 \epsilon_{0} S}$. (1)
$E_{23} = - \frac{q_{2}}{\epsilon_{0} S} - \frac{q_{0} - 2q_{1}}{2 \epsilon_{0} S}$. (2)
$E_{34} = \frac{q_{2}}{\epsilon_{0} S} - \frac{q_{0}}{2 \epsilon_{0}S} $, (3)
Поскольку $E_{12} = E_{23} = E_{34}$, то, приравнивая попарно (1), (2) и (2), (3), получим систему уравнений для определения $q_{1}$ и $q_{2}$:
$q_{0} = 2q_{1} - q_{2}$,
$q_{1} = 2q_{2}$.
Из этой системы следует, что $q_{1} = \frac{2}{3} q_{0}$, а $q_{2} = - \frac{1}{3} q_{0}$.
Заряд на первой пластине $\frac{2}{3} q_{0}$, на второй — $- \frac{1}{3} q_{0}$ на третьей - $\frac{1}{3} q_{0}$, на четвертой — $\frac{1}{3} q_{0}$.
2) Величину максимального тока через катушку найдем из закона сохранения энергии. Сразу после замыкания ключа ток через катушку равен нулю, а заряды на пластинах 1 и 3 равны по $\frac{q}{2}$.
Напряженность электрического поля между пластинами 1, 2 и 2, 3 равна нулю, а между пластинами 3 и 4 — $E_{1} = \frac{q_{0}}{2 \epsilon_{0} S}$. Энергия электрического поля между пластинами 3 и 4:
$W_{1} = \frac{ \epsilon_{0} E_{1}^{2}}{2} Sd + W_{вн} = \frac{q_{0}^{2} d}{8 \epsilon_{0} S} + W_{вн}$.
где $W_{вн}$ — энергия поля вне пластин.
В тот момент, когда ток через катушку достигнет максимального значения, напряженность поля по абсолютной величине во всех точках пространства между пластинами будет равна $E_{2} = \frac{q_{0}}{6 \epsilon_{0} S}$, а энергия электрического поля
$W_{2} = 3 \frac{ \epsilon_{0} E_{2}^{2}}{2} Sd + W_{вн} = \frac{q_{0}^{2}d}{24 \epsilon_{0}S} + W_{вн}$.
Энергия поля вне пластин остается неизменной и определяется суммарным зарядом пластин, который равен $q_{0}$. Закон сохранения энергии запишем в виде
$W_{1} = W_{2} + \frac{LI_{max}^{2}}{2}$,
где $I_{max}$ - максимальный ток через катушку. Подставляя значения для $W_{1}$ и $W_{2}$, получаем, что
$I_{max} = q_{0} \sqrt{ \frac{d}{6 \epsilon_{0} SL}}$.
