Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2967
2017-04-22 
В электрической схеме, представленной на рис., ключ К разомкнут. ЭДС батарей $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$. Емкости конденсаторов — $C_{1} = C_{2} = C$. 1) Найти заряд, протекший через батарею с ЭДС $\mathcal{E}_{2}$ после замыкания ключа К. 2) Какое количество теплоты выделится в цепи после замыкания ключа K?
Решение:
До замыкания ключа суммарный заряд левых обкладок обоих конденсаторов равен нулю. После замыкания ключа и установления равновесия заряд левой обкладки конденсатора емкостью $C_{1}$ равен
$q_{1} = C_{1} ( \mathcal{E}_{2} - \mathcal{E}_{1}) = C ( \mathcal{E}_{2} - \mathcal{E}_{1})$,
а заряд левой обкладки конденсатора емкостью $C_{2}$ равен
$q_{2} = C_{2} \mathcal{E}_{2} = C \mathcal{E}_{2}$.
Суммарный заряд этих обкладок, а следовательно, и заряд, протекший через батарею с ЭДС $\mathcal{E}_{2}$, равен
$q = q_{1} + q_{2} = C( 2 \mathcal{E}_{2} - \mathcal{E}_{1})$.
Теперь перейдем ко второму вопросу. Работа батареи с ЭДС $\mathcal{E}_{2}$ равна
$A_{2} = q \mathcal{E}_{2} = C \mathcal{E}_{2} (2 \mathcal{E}_{2} - \mathcal{E}_{1})$.
Найдем работу, совершенную батареей с ЭДС $\mathcal{E}_{1}$. До замыкания ключа заряд правой обкладки конденсатора емкостью $C_{1}$ равен
$q_{1}^{ \prime} = \frac{C_{1}C_{2} \mathcal{E}_{1}}{C_{1} + C_{2}} = \frac{C \mathcal{E}_{1}}{2}$.
После замыкания ключа заряд на этой обкладке составляет
$q_{1}^{ \prime \prime} = -q_{1} = C( \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2})$.
Следовательно, через батарею с ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ протек заряд
$\Delta q = q_{1}^{ \prime \prime} - q_{1}^{ \prime} = C \left ( \frac{ \mathcal{E}_{1}}{2} - \mathcal{E}_{2} \right )$,
эта батарея совершила работу
$A_{1} = \Delta q \mathcal{E}_{1} = C \mathcal{E}_{1} \left ( \frac{ \mathcal{E}_{1}}{2} - \mathcal{E}_{2} \right )$.
Начальная энергия, запасенная в конденсаторах (до замыкания ключа) равна
$W_{1} = \frac{1}{2} \frac{C_{1}C_{2}}{C_{1} + C_{2}} \mathcal{E}_{1}^{2} = \frac{C \mathcal{E}_{1}^{2}}{4}$.
Конечная энергия этих конденсаторов (после замыкания ключа) составляет
$W_{2} = \frac{C_{1} ( \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2})^{2}}{2} + \frac{C_{2} \mathcal{E}_{2}^{2}}{2} = \frac{C}{2} ( \mathcal{E}_{1}^{2} - 2 \mathcal{E}_{1} \mathcal{E}_{2} + 2 \mathcal{E}_{2}^{2})$.
По закону сохранения энергии можно записать, что суммарная работа батарей пошла на изменение энергии конденсаторов и на выделение искомого количества теплоты:
$A_{1} + A_{2} = W_{2} - W_{1} + Q$.
Отсюда находим
$Q = A_{1} + A_{2} + W_{1} - W_{2} = \frac{C}{2} \mathcal{E}_{1}^{2} - \mathcal{E}_{1} \mathcal{E}_{2} + 2C \mathcal{E}_{2}^{2} - C \mathcal{E}_{1} \mathcal{E}_{2} + \frac{C}{4} \mathcal{E}_{1}^{2} - \frac{C}{2} \mathcal{E}_{1}^{2} + C \mathcal{E}_{1} \mathcal{E}_{2} - C \mathcal{E}_{2}^{2} = \frac{C}{4} ( \mathcal{E}_{1} - 2 \mathcal{E}_{2})^{2}$.
В электрической схеме, представленной на рис., ключ К разомкнут. ЭДС батарей $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$. Емкости конденсаторов — $C_{1} = C_{2} = C$. 1) Найти заряд, протекший через батарею с ЭДС $\mathcal{E}_{2}$ после замыкания ключа К. 2) Какое количество теплоты выделится в цепи после замыкания ключа K?
Решение:
До замыкания ключа суммарный заряд левых обкладок обоих конденсаторов равен нулю. После замыкания ключа и установления равновесия заряд левой обкладки конденсатора емкостью $C_{1}$ равен
$q_{1} = C_{1} ( \mathcal{E}_{2} - \mathcal{E}_{1}) = C ( \mathcal{E}_{2} - \mathcal{E}_{1})$,
а заряд левой обкладки конденсатора емкостью $C_{2}$ равен
$q_{2} = C_{2} \mathcal{E}_{2} = C \mathcal{E}_{2}$.
Суммарный заряд этих обкладок, а следовательно, и заряд, протекший через батарею с ЭДС $\mathcal{E}_{2}$, равен
$q = q_{1} + q_{2} = C( 2 \mathcal{E}_{2} - \mathcal{E}_{1})$.
Теперь перейдем ко второму вопросу. Работа батареи с ЭДС $\mathcal{E}_{2}$ равна
$A_{2} = q \mathcal{E}_{2} = C \mathcal{E}_{2} (2 \mathcal{E}_{2} - \mathcal{E}_{1})$.
Найдем работу, совершенную батареей с ЭДС $\mathcal{E}_{1}$. До замыкания ключа заряд правой обкладки конденсатора емкостью $C_{1}$ равен
$q_{1}^{ \prime} = \frac{C_{1}C_{2} \mathcal{E}_{1}}{C_{1} + C_{2}} = \frac{C \mathcal{E}_{1}}{2}$.
После замыкания ключа заряд на этой обкладке составляет
$q_{1}^{ \prime \prime} = -q_{1} = C( \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2})$.
Следовательно, через батарею с ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ протек заряд
$\Delta q = q_{1}^{ \prime \prime} - q_{1}^{ \prime} = C \left ( \frac{ \mathcal{E}_{1}}{2} - \mathcal{E}_{2} \right )$,
эта батарея совершила работу
$A_{1} = \Delta q \mathcal{E}_{1} = C \mathcal{E}_{1} \left ( \frac{ \mathcal{E}_{1}}{2} - \mathcal{E}_{2} \right )$.
Начальная энергия, запасенная в конденсаторах (до замыкания ключа) равна
$W_{1} = \frac{1}{2} \frac{C_{1}C_{2}}{C_{1} + C_{2}} \mathcal{E}_{1}^{2} = \frac{C \mathcal{E}_{1}^{2}}{4}$.
Конечная энергия этих конденсаторов (после замыкания ключа) составляет
$W_{2} = \frac{C_{1} ( \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2})^{2}}{2} + \frac{C_{2} \mathcal{E}_{2}^{2}}{2} = \frac{C}{2} ( \mathcal{E}_{1}^{2} - 2 \mathcal{E}_{1} \mathcal{E}_{2} + 2 \mathcal{E}_{2}^{2})$.
По закону сохранения энергии можно записать, что суммарная работа батарей пошла на изменение энергии конденсаторов и на выделение искомого количества теплоты:
$A_{1} + A_{2} = W_{2} - W_{1} + Q$.
Отсюда находим
$Q = A_{1} + A_{2} + W_{1} - W_{2} = \frac{C}{2} \mathcal{E}_{1}^{2} - \mathcal{E}_{1} \mathcal{E}_{2} + 2C \mathcal{E}_{2}^{2} - C \mathcal{E}_{1} \mathcal{E}_{2} + \frac{C}{4} \mathcal{E}_{1}^{2} - \frac{C}{2} \mathcal{E}_{1}^{2} + C \mathcal{E}_{1} \mathcal{E}_{2} - C \mathcal{E}_{2}^{2} = \frac{C}{4} ( \mathcal{E}_{1} - 2 \mathcal{E}_{2})^{2}$.
