Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2957
2017-04-22 
При разомкнутом ключе К в LC-контуре (рис.) происходят незатухающие свободные колебания тока. В тот момент, когда ток в цепи максимален и равен $I_{0}$, замыкают ключ К. Определить максимальное напряжение на конденсаторе после замыкания ключа. Параметры схемы указаны на рисунке.
Решение:
Сразу после замыкания ключа К напряжение на конденсаторе остается равным нулю. Сохраняются и токи в катушках: через катушку $L_{1}$ течет ток $I_{0}$, а в катушке $L_{2}$ ток равен нулю. Затем начинает нарастать ток через катушку $L_{2}$. Пусть в некоторый момент ток через катушку $L_{1}$ равен $I_{1}$, а чёрез катушку $L_{2}$ ток равен $I_{2}$. Пусть токи в катушках текут по часовой стрелке. Запишем закон Ома для контура, охватывающего обе катушки:
$L_{1} dI_{1}/ dt + L_{2} dI_{2}/dt = 0$.
Отсюда следует, что $L_{1}I_{1} + L_{2}I_{2} = const$. Очевидно, что константа равна $L_{1}I_{0}$, поэтому $L_{1}I_{1} + L_{2}I_{2} = L_{1}I_{0}$.
В тот момент, когда напряжение не конденсаторе максимально и равно $U_{max}$, ток через конденсатор равен нулю, а через катушку будет течь ток, который обозначим $I_{m}$. Тогда $(L_{1} +L_{2})I_{m} = L_{1}I_{0}$. Отсюда $I_{m} = L_{1}I_{0} (L_{1} + L_{2})$.
В момент замыкания ключа энергия контура сосредоточена в катушке $L_{1}$ и равна
$W_{1} = L_{1}I_{0}^{2}/2$.
А в тот момент, когда напряжение на конденсаторе максимально, энергия, запасенная в контуре, равна
$W_{2} = (L_{1} + L_{2})I_{m}^{2}/2 + CU_{max}^{2}/2$.
По закону сохранения энергии
$W_{1} = W_{2}$
$L_{1} I_{0}^{2} /2 = (L_{1} + L_{2}) I_{m}^{2}/2 + CU_{max} /2$.
Отсюда
$U_{max} = I_{0} \sqrt{ L_{1}L_{2} /C(L_{1} + L_{2})}$.
При разомкнутом ключе К в LC-контуре (рис.) происходят незатухающие свободные колебания тока. В тот момент, когда ток в цепи максимален и равен $I_{0}$, замыкают ключ К. Определить максимальное напряжение на конденсаторе после замыкания ключа. Параметры схемы указаны на рисунке.
Решение:
Сразу после замыкания ключа К напряжение на конденсаторе остается равным нулю. Сохраняются и токи в катушках: через катушку $L_{1}$ течет ток $I_{0}$, а в катушке $L_{2}$ ток равен нулю. Затем начинает нарастать ток через катушку $L_{2}$. Пусть в некоторый момент ток через катушку $L_{1}$ равен $I_{1}$, а чёрез катушку $L_{2}$ ток равен $I_{2}$. Пусть токи в катушках текут по часовой стрелке. Запишем закон Ома для контура, охватывающего обе катушки:
$L_{1} dI_{1}/ dt + L_{2} dI_{2}/dt = 0$.
Отсюда следует, что $L_{1}I_{1} + L_{2}I_{2} = const$. Очевидно, что константа равна $L_{1}I_{0}$, поэтому $L_{1}I_{1} + L_{2}I_{2} = L_{1}I_{0}$.
В тот момент, когда напряжение не конденсаторе максимально и равно $U_{max}$, ток через конденсатор равен нулю, а через катушку будет течь ток, который обозначим $I_{m}$. Тогда $(L_{1} +L_{2})I_{m} = L_{1}I_{0}$. Отсюда $I_{m} = L_{1}I_{0} (L_{1} + L_{2})$.
В момент замыкания ключа энергия контура сосредоточена в катушке $L_{1}$ и равна
$W_{1} = L_{1}I_{0}^{2}/2$.
А в тот момент, когда напряжение на конденсаторе максимально, энергия, запасенная в контуре, равна
$W_{2} = (L_{1} + L_{2})I_{m}^{2}/2 + CU_{max}^{2}/2$.
По закону сохранения энергии
$W_{1} = W_{2}$
$L_{1} I_{0}^{2} /2 = (L_{1} + L_{2}) I_{m}^{2}/2 + CU_{max} /2$.
Отсюда
$U_{max} = I_{0} \sqrt{ L_{1}L_{2} /C(L_{1} + L_{2})}$.
