Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2954
2017-04-22 
Для поддержания незатухающих колебаний в контуре с малым затуханием, изображенном на рис., индуктивность катушки быстро (по сравнению с периодом колебаний в контуре) увеличивают на небольшую величину $\Delta L ( \Delta L \ll L)$ каждый раз, когда ток в цепи равен нулю, а через время, равное четверти периода колебаний, также быстро возвращают в исходное состояние. Определить величину $\Delta L$, если $L = 0,15 Гн, C = 1,5 \cdot 10^{-7} Ф, R = 20 Ом$.
Решение:
Так как сопротивление контура мало, то колебания, возникающие в контуре, можно считать почти синусоидальными, так что за период колебаний потери энергии достаточно малы. Тогда период колебаний определяется по формуле Томсона (см. рис.):
$T = 2 \pi \sqrt{LC}$.
Индуктивность изменяется через время $t = T/2 = \pi \sqrt{LC}$. При изменении индуктивности на величину $\Delta L$ в силу сохранения магнитного потока
$I_{T}L = (L + \Delta L)I = \Phi$.
Здесь $I_{T}$ — амплитуда тока в контуре. Начальная энергия, запасенная в контуре, равна
$W_{1} = \frac{ \Phi^{2}}{2(L + \Delta L)}$,
где $\Phi$ — магнитный поток, пронизывающий катушку индуктивности. В момент уменьшения индуктивности на величину $\Delta L$ энергия, запасенная в катушке, увеличилась и равна
$W_{2} = \frac{ \Phi^{2}}{2L}$.
Изменение энергии равно
$\Delta W = W_{2} - W_{1} = \frac{ \Phi^{2}}{2} \frac{ \Delta L}{L(L + \Delta L)} \approx \frac{ \Phi^{2} \Delta L}{2L^{2}}$.
За время $t = T/2$ в контуре происходят потери энергии, выделяющейся в виде тепла на резисторе с сопротивлением $R$, равные
$W_{потерь} = I_{эфф}^{2} R \frac{T}{2}$.
Для поддержания в контуре незатухающих колебаний требуется скомпенсировать эти потери за счет увеличения энергии, запасенной в катушке индуктивности. Следовательно,
$\Delta W \geq W_{потерь}$ или $\frac{I_{T}^{2} \Delta L}{2} \geq \frac{I_{T}^{2} R \pi \sqrt{LC}}{2}$.
Откуда
$\Delta L \geq \pi R \sqrt{LC} \approx 9,4 \cdot 10^{-3} Гн$.
Для поддержания незатухающих колебаний в контуре с малым затуханием, изображенном на рис., индуктивность катушки быстро (по сравнению с периодом колебаний в контуре) увеличивают на небольшую величину $\Delta L ( \Delta L \ll L)$ каждый раз, когда ток в цепи равен нулю, а через время, равное четверти периода колебаний, также быстро возвращают в исходное состояние. Определить величину $\Delta L$, если $L = 0,15 Гн, C = 1,5 \cdot 10^{-7} Ф, R = 20 Ом$.
Решение:
Так как сопротивление контура мало, то колебания, возникающие в контуре, можно считать почти синусоидальными, так что за период колебаний потери энергии достаточно малы. Тогда период колебаний определяется по формуле Томсона (см. рис.):
$T = 2 \pi \sqrt{LC}$.
Индуктивность изменяется через время $t = T/2 = \pi \sqrt{LC}$. При изменении индуктивности на величину $\Delta L$ в силу сохранения магнитного потока
$I_{T}L = (L + \Delta L)I = \Phi$.
Здесь $I_{T}$ — амплитуда тока в контуре. Начальная энергия, запасенная в контуре, равна
$W_{1} = \frac{ \Phi^{2}}{2(L + \Delta L)}$,
где $\Phi$ — магнитный поток, пронизывающий катушку индуктивности. В момент уменьшения индуктивности на величину $\Delta L$ энергия, запасенная в катушке, увеличилась и равна
$W_{2} = \frac{ \Phi^{2}}{2L}$.
Изменение энергии равно
$\Delta W = W_{2} - W_{1} = \frac{ \Phi^{2}}{2} \frac{ \Delta L}{L(L + \Delta L)} \approx \frac{ \Phi^{2} \Delta L}{2L^{2}}$.
За время $t = T/2$ в контуре происходят потери энергии, выделяющейся в виде тепла на резисторе с сопротивлением $R$, равные
$W_{потерь} = I_{эфф}^{2} R \frac{T}{2}$.
Для поддержания в контуре незатухающих колебаний требуется скомпенсировать эти потери за счет увеличения энергии, запасенной в катушке индуктивности. Следовательно,
$\Delta W \geq W_{потерь}$ или $\frac{I_{T}^{2} \Delta L}{2} \geq \frac{I_{T}^{2} R \pi \sqrt{LC}}{2}$.
Откуда
$\Delta L \geq \pi R \sqrt{LC} \approx 9,4 \cdot 10^{-3} Гн$.
