Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2945
2017-04-22 
Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС $\mathcal{E}$, сопротивления $R$ и конденсатора переменной емкости, начальное значение которой равно $C_{0}$ (рис.). Через некоторое время после замыкания ключа К в цепи течет ток $I_{0}$. Начиная с этого момента времени, емкость конденсатора изменяется таким образом, что ток в цепи остается постоянным и равным $I_{0}$.
1) Определить ток в цепи сразу после замыкания ключа К.
2) Найти зависимость емкости конденсатора от времени. Внутреннее сопротивление батареи не учитывать.
Решение:
1) Сразу после замыкания ключа К конденсатор не заряжен, и разность потенциалов на нем равна нулю. Тогда, согласно закону Ома для цепи, $\mathcal{E} + U_{C} = IR$ и начальный ток в цепи равен $I = \frac{ \mathcal{E}}{R}$.
2) В дальнейшем конденсатор начинает заряжаться (происходит процесс накопления заряда). В произвольной момент времени $t < t_{0}$ напряжение на конденсаторе равно
$U_{C} = \frac{q(t)}{C_{0}} = \mathcal{E} - I(t)R$.
К моменту времени $t_{0}$ ток в цепи достигает значения $I_{0} = \frac{ \Delta q}{ \Delta t}$ и в дальнейшем остается постоянным. Тогда изменение заряда на конденсаторе $\Delta q = I_{0} \Delta t$ и заряд на конденсаторе
$q(t) = q_{0} + I_{0}(t - t_{0}) (t \geq t_{0})$,
где $q_{0}$ — заряд на конденсаторе $C_{}$ в момент времени $t_{0}$.
С другой стороны, $q(t) = ( \mathcal{E} - I_{0}R) C(t)$. Из совместного решения этих уравнений для зависимости емкости конденсатора от времени получим
$C(t) = \frac{q_{0}}{ \mathcal{E} - I_{0}R} + \frac{I_{0}(t-t_{0})}{ \mathcal{E} - I_{0}R}$.
При $t = t_{0}$ емкость конденсатора $C_{0} = \frac{q_{0}}{ \mathcal{E} - I_{0} R}$. Окончательно зависимость $C(t)$ имеет вид
$C(t) = C_{0} + \frac{I_{0}(t -t_{0})}{ \mathcal{E} - I_{0}R} (t \geq t_{0})$.
Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС $\mathcal{E}$, сопротивления $R$ и конденсатора переменной емкости, начальное значение которой равно $C_{0}$ (рис.). Через некоторое время после замыкания ключа К в цепи течет ток $I_{0}$. Начиная с этого момента времени, емкость конденсатора изменяется таким образом, что ток в цепи остается постоянным и равным $I_{0}$.
1) Определить ток в цепи сразу после замыкания ключа К.
2) Найти зависимость емкости конденсатора от времени. Внутреннее сопротивление батареи не учитывать.
Решение:
1) Сразу после замыкания ключа К конденсатор не заряжен, и разность потенциалов на нем равна нулю. Тогда, согласно закону Ома для цепи, $\mathcal{E} + U_{C} = IR$ и начальный ток в цепи равен $I = \frac{ \mathcal{E}}{R}$.
2) В дальнейшем конденсатор начинает заряжаться (происходит процесс накопления заряда). В произвольной момент времени $t < t_{0}$ напряжение на конденсаторе равно
$U_{C} = \frac{q(t)}{C_{0}} = \mathcal{E} - I(t)R$.
К моменту времени $t_{0}$ ток в цепи достигает значения $I_{0} = \frac{ \Delta q}{ \Delta t}$ и в дальнейшем остается постоянным. Тогда изменение заряда на конденсаторе $\Delta q = I_{0} \Delta t$ и заряд на конденсаторе
$q(t) = q_{0} + I_{0}(t - t_{0}) (t \geq t_{0})$,
где $q_{0}$ — заряд на конденсаторе $C_{}$ в момент времени $t_{0}$.
С другой стороны, $q(t) = ( \mathcal{E} - I_{0}R) C(t)$. Из совместного решения этих уравнений для зависимости емкости конденсатора от времени получим
$C(t) = \frac{q_{0}}{ \mathcal{E} - I_{0}R} + \frac{I_{0}(t-t_{0})}{ \mathcal{E} - I_{0}R}$.
При $t = t_{0}$ емкость конденсатора $C_{0} = \frac{q_{0}}{ \mathcal{E} - I_{0} R}$. Окончательно зависимость $C(t)$ имеет вид
$C(t) = C_{0} + \frac{I_{0}(t -t_{0})}{ \mathcal{E} - I_{0}R} (t \geq t_{0})$.
