Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 294
2014-05-31 
В представленной на (рис.) схеме конденсаторы имеют заряд $Q$ каждый. После замыкания ключа $k_{1}$ в схеме начинаются незатухающие колебания. В тот момент, когда заряд на конденсаторах равен нулю, замыкают ключ $k_{2}$. Как в результате этого изменятся амплитудные значения зарядов на конденсаторах и тока в контуре?
Решение:
Заряженные конденсаторы обладают энергией
$ W_{1} = C_{1}U^{2}_{1}/2 , W_{2} = C_{2}U^{2}_{2}/2$. (1)
Здесь $U_{1}, U_{2}$ - напряжения на конденсаторах с емкостями $C_{1}$ и $C_{2}$ соответственно. Напряжение $U$ на любом конденсаторе связано с его зарядом $Q$ и емкостью $C$ обшей формулой $Q = CU$. В соответствии с этим в нашем случае
$U_{1}=Q/C_{1}, U_{2}=Q/C_{2}$. (2)
Подставляя в (1) вместо $U_{1}$ и $U_{2}$ выражения (2), получаем
$W_{1}=\frac{Q^{2}}{2C_{1}}, W_{2}=\frac{Q^{2}}{2C_{2}}$
Полная энергия $W$, запасенная в обоих конденсаторах перед включением их с помощью ключа $k_{1}$ в состав контура, определяется формулой
$W=W_{1}+W_{2}=\frac{Q^{2}}{2} \left ( \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} \right )$.
В процессе возникающих после замыкания ключа $k_{1}$ колебаний и момент, когда заряд на конденсаторах становится равным нулю, вся энергия заключена в магнитном поле катушки и равна$LI^{2}/2$, где $L$ - индуктивность катушки и $I$ - амплитудное значение тока. В силу закона сохранения энергии электромагнитного поля
$\frac{LI^{2}}{2}=\frac{Q^{2}}{2} \left ( \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} \right )$. (3)
Замыкание ключа $k_{2}$ в момент отсутствия заряда на конденсаторах не меняет энергию системы (изменяется только емкость контура и связанная с нею частота колебании). Энергия магнитного поля в катушке и ток через катушку не меняются, следовательно амплитудное значение тока остается прежним. Разность потенциалов и заряд на обкладках конденсатора $C_{2}$ после замыкания ключа $k_{2}$ останутся равными нулю.
Через четверть периода после замыкания ключа $k_{2}$ вся электромагнитная энергия контура будет сосредоточена в электрическом поле конденсатора $C_{1}$, который приобретет некоторый заряд $Q^{\prime}$. По закону сохранения энергии
$\frac{LI^{2}}{2} = \frac{Q^{\prime 2}}{2C_{1}}$. (4)
Так как левые части равенств (3) и (4) одинаковы, то их правые части должны быть равны, т. е.
$Q^{\prime} = Q \sqrt{1+C_{1}/C_{2}}$.
Таково амплитудное значение заряда конденсатора с емкостью $C_{1}$ после замыкания ключа $k_{2}$ (если $C_{1}=C_{2}$, то $Q^{\prime} = \sqrt{2}Q$).
В представленной на (рис.) схеме конденсаторы имеют заряд $Q$ каждый. После замыкания ключа $k_{1}$ в схеме начинаются незатухающие колебания. В тот момент, когда заряд на конденсаторах равен нулю, замыкают ключ $k_{2}$. Как в результате этого изменятся амплитудные значения зарядов на конденсаторах и тока в контуре?
Решение:
Заряженные конденсаторы обладают энергией
$ W_{1} = C_{1}U^{2}_{1}/2 , W_{2} = C_{2}U^{2}_{2}/2$. (1)
Здесь $U_{1}, U_{2}$ - напряжения на конденсаторах с емкостями $C_{1}$ и $C_{2}$ соответственно. Напряжение $U$ на любом конденсаторе связано с его зарядом $Q$ и емкостью $C$ обшей формулой $Q = CU$. В соответствии с этим в нашем случае
$U_{1}=Q/C_{1}, U_{2}=Q/C_{2}$. (2)
Подставляя в (1) вместо $U_{1}$ и $U_{2}$ выражения (2), получаем
$W_{1}=\frac{Q^{2}}{2C_{1}}, W_{2}=\frac{Q^{2}}{2C_{2}}$
Полная энергия $W$, запасенная в обоих конденсаторах перед включением их с помощью ключа $k_{1}$ в состав контура, определяется формулой
$W=W_{1}+W_{2}=\frac{Q^{2}}{2} \left ( \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} \right )$.
В процессе возникающих после замыкания ключа $k_{1}$ колебаний и момент, когда заряд на конденсаторах становится равным нулю, вся энергия заключена в магнитном поле катушки и равна$LI^{2}/2$, где $L$ - индуктивность катушки и $I$ - амплитудное значение тока. В силу закона сохранения энергии электромагнитного поля
$\frac{LI^{2}}{2}=\frac{Q^{2}}{2} \left ( \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} \right )$. (3)
Замыкание ключа $k_{2}$ в момент отсутствия заряда на конденсаторах не меняет энергию системы (изменяется только емкость контура и связанная с нею частота колебании). Энергия магнитного поля в катушке и ток через катушку не меняются, следовательно амплитудное значение тока остается прежним. Разность потенциалов и заряд на обкладках конденсатора $C_{2}$ после замыкания ключа $k_{2}$ останутся равными нулю.
Через четверть периода после замыкания ключа $k_{2}$ вся электромагнитная энергия контура будет сосредоточена в электрическом поле конденсатора $C_{1}$, который приобретет некоторый заряд $Q^{\prime}$. По закону сохранения энергии
$\frac{LI^{2}}{2} = \frac{Q^{\prime 2}}{2C_{1}}$. (4)
Так как левые части равенств (3) и (4) одинаковы, то их правые части должны быть равны, т. е.
$Q^{\prime} = Q \sqrt{1+C_{1}/C_{2}}$.
Таково амплитудное значение заряда конденсатора с емкостью $C_{1}$ после замыкания ключа $k_{2}$ (если $C_{1}=C_{2}$, то $Q^{\prime} = \sqrt{2}Q$).
