Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2922
2017-04-19 
Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным поршнем. Газ охлаждают при постоянном давлении, переводя его из состояния 1 в состояние 2 (рис.). При этом от газа отводится количество теплоты $Q (Q > 0)$. Затем газ расширяется в процессе 2—3, когда его давление $P$ прямо пропорционально объему $V$, совершая работу $A_{23}$. Наконец, газ расширяется в адиабатическом процессе 3—1. Найти работу $A_{31}$, совершенную газом в процессе адиабатического расширения.
Решение:
На участке У—2 согласно первого начала термодинамики отводимое тепло $Q = \nu C_{V}(T_{1} - T_{2}) + P_{12}(V_{1} - V_{2})$, где $\nu$ — число молей гелия, $C_{V}$ — молярная теплоемкость при постоянном объеме, $T_{1}$ и $T_{2}$ — температуры в точках 1 и 2. $P_{12}$ — давление при изобарическом процессе 1—2, $V_{1}$ и $_{2}$ — объемы в состояниях 1 и 2. Используя уравнение состояния для идеального газа, можно записать:
$Q = \nu C_{V} (T_{1} - T_{2}) + \nu R(T_{1} - T_{2}) = \nu (C_{V} + R)(T_{1} - T_{2})$.
Отсюда
$T_{1} - T_{2} = Q / \nu (C_{V} + R)$. (5)
Работа, совершаемая газом на участке 2—3
$A_{23} = \frac{P_{3} + P_{2}}{2} (V_{3} - V_{2}) = \frac{ \nu R(T_{3} - T_{2})}{2}$.
Здесь индексы 2, 3 соответствуют состояниям в точках 2 и 3. Из этого уравнения следует, что
$T_{3} - T_{2} = 2A_{23}/ \nu R$. (6)
На участке 3—1 газ расширяется в адиабатическом процессе, и работа, совершаемая газом
$A_{31} = \nu C_{V}( T_{3} - T_{1})$.
Для замкнутого цикла изменение внутренней энергии равно нулю. Это позволяет записать:
$T_{3} - T_{1} = (T_{3} - T_{2}) - (T_{1} - T_{2})$.
используя соотношения (5) и (6), получим, что
$T_{3} - T_{1} = \frac{2A_{23}}{ \nu R} - \frac{Q}{ \nu (C_{V} + R)}$.
Тогда $A_{31} = \frac{2C_{V}}{R} A_{23} - \frac{C_{V}}{C_{V} + R} Q$. Поскольку $C_{V} = \frac{3}{2} R$, то $A_{31} = 3 A_{23} - \frac{3}{5} Q$.
Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным поршнем. Газ охлаждают при постоянном давлении, переводя его из состояния 1 в состояние 2 (рис.). При этом от газа отводится количество теплоты $Q (Q > 0)$. Затем газ расширяется в процессе 2—3, когда его давление $P$ прямо пропорционально объему $V$, совершая работу $A_{23}$. Наконец, газ расширяется в адиабатическом процессе 3—1. Найти работу $A_{31}$, совершенную газом в процессе адиабатического расширения.
Решение:
На участке У—2 согласно первого начала термодинамики отводимое тепло $Q = \nu C_{V}(T_{1} - T_{2}) + P_{12}(V_{1} - V_{2})$, где $\nu$ — число молей гелия, $C_{V}$ — молярная теплоемкость при постоянном объеме, $T_{1}$ и $T_{2}$ — температуры в точках 1 и 2. $P_{12}$ — давление при изобарическом процессе 1—2, $V_{1}$ и $_{2}$ — объемы в состояниях 1 и 2. Используя уравнение состояния для идеального газа, можно записать:
$Q = \nu C_{V} (T_{1} - T_{2}) + \nu R(T_{1} - T_{2}) = \nu (C_{V} + R)(T_{1} - T_{2})$.
Отсюда
$T_{1} - T_{2} = Q / \nu (C_{V} + R)$. (5)
Работа, совершаемая газом на участке 2—3
$A_{23} = \frac{P_{3} + P_{2}}{2} (V_{3} - V_{2}) = \frac{ \nu R(T_{3} - T_{2})}{2}$.
Здесь индексы 2, 3 соответствуют состояниям в точках 2 и 3. Из этого уравнения следует, что
$T_{3} - T_{2} = 2A_{23}/ \nu R$. (6)
На участке 3—1 газ расширяется в адиабатическом процессе, и работа, совершаемая газом
$A_{31} = \nu C_{V}( T_{3} - T_{1})$.
Для замкнутого цикла изменение внутренней энергии равно нулю. Это позволяет записать:
$T_{3} - T_{1} = (T_{3} - T_{2}) - (T_{1} - T_{2})$.
используя соотношения (5) и (6), получим, что
$T_{3} - T_{1} = \frac{2A_{23}}{ \nu R} - \frac{Q}{ \nu (C_{V} + R)}$.
Тогда $A_{31} = \frac{2C_{V}}{R} A_{23} - \frac{C_{V}}{C_{V} + R} Q$. Поскольку $C_{V} = \frac{3}{2} R$, то $A_{31} = 3 A_{23} - \frac{3}{5} Q$.
