Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2904
2017-04-16 
Небольшие бруски с массами $m$ и $3m$ связаны легкой нитью, перекинутой через блок (рис.). Брусок массой $3m$ удерживают на гладкой наклоненной под углом $\beta ( \cos \beta = 3/5)$ к горизонту поверхности чаши. Коэффициент трения скольжения между бруском массой $m$ и вертикальной стенкой чаши $\mu = 2/5$. Чаша с брусками может вращаться вокруг вертикальной оси $OO^{ \prime}$. Бруски находятся на расстояниях $R$ и $2R$ от оси $OO^{ \prime}$. Нить и бруски лежат в плоскости, перпендикулярной поверхности чаши. При какой минимальной угловой скорости вращения брусок массой $m$ начнет двигаться вверх, если второй брусок не удерживать? Трением в оси блока пренебречь.
Решение:
Минимальная угловая скорость $\omega$ соответствует ситуации, когда нижний брусок находится на грани скольжения вверх. Силы, действующие на бруски, изображены на рисунке. Сила трения $F_{тр} = \mu N_{1}$. Ускорения брусков направлены к оси вращения:
$a_{1} = \omega^{2} R, a_{2} = \omega^{2} 2R$.
Запишем уравнения движения для нижнего бруска в проекциях на оси $x_{1}$ и $y_{1}$:
$N_{1} = ma_{1}, T - F_{тр} - mg = 0$.
Для верхнего бруска уравнение движения запишем в проекциях на ось х:
$T + 3mg \sin \beta = 3ma_{2} \cos \beta$.
Подставив в последние три уравнения выражения для $a_{1}, a_{2}$ и $F_{тр}$ и решив систему из этих уравнений, находим
$\omega = \sqrt{ \frac{1 + 3 \sin \beta}{6 \cos \beta \mu} \frac{g}{R}}$.
При $\mu = \frac{2}{5}, \cos \beta = \frac{3}{5}, \sin \beta = \frac{4}{5} \omega = \sqrt{ \frac{17}{16} \frac{g}{R}}$.
Небольшие бруски с массами $m$ и $3m$ связаны легкой нитью, перекинутой через блок (рис.). Брусок массой $3m$ удерживают на гладкой наклоненной под углом $\beta ( \cos \beta = 3/5)$ к горизонту поверхности чаши. Коэффициент трения скольжения между бруском массой $m$ и вертикальной стенкой чаши $\mu = 2/5$. Чаша с брусками может вращаться вокруг вертикальной оси $OO^{ \prime}$. Бруски находятся на расстояниях $R$ и $2R$ от оси $OO^{ \prime}$. Нить и бруски лежат в плоскости, перпендикулярной поверхности чаши. При какой минимальной угловой скорости вращения брусок массой $m$ начнет двигаться вверх, если второй брусок не удерживать? Трением в оси блока пренебречь.
Решение:
Минимальная угловая скорость $\omega$ соответствует ситуации, когда нижний брусок находится на грани скольжения вверх. Силы, действующие на бруски, изображены на рисунке. Сила трения $F_{тр} = \mu N_{1}$. Ускорения брусков направлены к оси вращения:
$a_{1} = \omega^{2} R, a_{2} = \omega^{2} 2R$.
Запишем уравнения движения для нижнего бруска в проекциях на оси $x_{1}$ и $y_{1}$:
$N_{1} = ma_{1}, T - F_{тр} - mg = 0$.
Для верхнего бруска уравнение движения запишем в проекциях на ось х:
$T + 3mg \sin \beta = 3ma_{2} \cos \beta$.
Подставив в последние три уравнения выражения для $a_{1}, a_{2}$ и $F_{тр}$ и решив систему из этих уравнений, находим
$\omega = \sqrt{ \frac{1 + 3 \sin \beta}{6 \cos \beta \mu} \frac{g}{R}}$.
При $\mu = \frac{2}{5}, \cos \beta = \frac{3}{5}, \sin \beta = \frac{4}{5} \omega = \sqrt{ \frac{17}{16} \frac{g}{R}}$.
