Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2901
2017-04-16 
Груз уравновешен на чашке пружинных весов, при этом в пружине запасена потенциальная энергия деформации $U_{0}$. На чашку весов поставили дополнительную гирю, так что масса нового груза стала в три раза больше первоначальной. 1) Во сколько раз величина максимального ускорения $a_{max}$ во время возникших колебаний отличается от ускорения свободного падения $g$? 2) С каким по величине ускорением движется груз в момент, когда его кинетическая энергия $T = 3U_{0}$? Затуханием колебаний пренебречь.
Решение:
Введем обозначения (см. рис.). Пусть первоначальная масса груза $M$, тогда вторичная масса груза $3M$. Длина недеформи-рованной пружины $z_{0}, z_{1}$, — длина пружины в положении равновесия в случае первого груза, $z_{2}$ — положение равновесия для второго случая, $z_{3}$ — крайнее нижнее положение при колебаниях второго груза. Жесткость пружины обозначим через $k$. Потенциальная энергия деформации для первого груза может быть записана в виде
$U_{0} = \frac{k(z_{0} - z_{1})^{2}}{2}$, (1)
а условие равновесия
$k(z_{0} - z_{1}) = Mg$. (2)
Деформация пружины в случае равновесия со вторым грузом в три раза больше, чем для первого, т. е.
$z_{0} - z_{2} = 3(z_{0} - z_{1})$.
Амплитуда колебаний для второго груза
$z_{1} - z_{2} = 2(z_{0} - z_{1}) = 2 \frac{Mg}{k}$.
Когда груз колеблется около своего положения равновесия, то на него действуют две силы: сила тяжести и сила упругой деформации пружины, но действие этих двух сил эквивалентно действию одной упругой силы $k \Delta z$, где $\Delta z$ — отклонение от положения равновесия. Поэтому очевидно, что максимальное ускорение груза при колебаниях во втором случае будет при максимальном отклонении груза от положения равновесия $(z = z_{2})$:
$a_{max} = \frac{k(z_{1} - z_{0})}{3M} = \frac{2}{3} g$.
Рассмотрим колебание груза массой $3M$ относительно положения равновесия $(z = z_{2})$. В крайнем верхнем положении полная энергия системы равна потенциальной энергии груза:
$E = \frac{k(z_{1} - z_{2})^{2}}{2} = \frac{2(Mg)^{2}}{k}$.
Потенциальную энергию грузы мы записали через эквивалентную силу, о которой говорилось выше. Если груз при колебании имеет кинетическую энергию $T = 3U_{0}$, то его потенциальная энергия
$\frac{k ( \Delta x)^{2}}{2} = E - T = \frac{2(Mg)^{2}}{k} - 3U_{0}$. (3)
Здесь $\Delta z$ - отклонение от положения равновесия. Из уравнений (1) и (2) следует, что
$a = \frac{k \Delta z}{3M} = \frac{ \sqrt{3kU_{0}}}{3m}$.
С учетом (4)
$a = \frac{g}{3}$.
Груз уравновешен на чашке пружинных весов, при этом в пружине запасена потенциальная энергия деформации $U_{0}$. На чашку весов поставили дополнительную гирю, так что масса нового груза стала в три раза больше первоначальной. 1) Во сколько раз величина максимального ускорения $a_{max}$ во время возникших колебаний отличается от ускорения свободного падения $g$? 2) С каким по величине ускорением движется груз в момент, когда его кинетическая энергия $T = 3U_{0}$? Затуханием колебаний пренебречь.
Решение:
Введем обозначения (см. рис.). Пусть первоначальная масса груза $M$, тогда вторичная масса груза $3M$. Длина недеформи-рованной пружины $z_{0}, z_{1}$, — длина пружины в положении равновесия в случае первого груза, $z_{2}$ — положение равновесия для второго случая, $z_{3}$ — крайнее нижнее положение при колебаниях второго груза. Жесткость пружины обозначим через $k$. Потенциальная энергия деформации для первого груза может быть записана в виде
$U_{0} = \frac{k(z_{0} - z_{1})^{2}}{2}$, (1)
а условие равновесия
$k(z_{0} - z_{1}) = Mg$. (2)
Деформация пружины в случае равновесия со вторым грузом в три раза больше, чем для первого, т. е.
$z_{0} - z_{2} = 3(z_{0} - z_{1})$.
Амплитуда колебаний для второго груза
$z_{1} - z_{2} = 2(z_{0} - z_{1}) = 2 \frac{Mg}{k}$.
Когда груз колеблется около своего положения равновесия, то на него действуют две силы: сила тяжести и сила упругой деформации пружины, но действие этих двух сил эквивалентно действию одной упругой силы $k \Delta z$, где $\Delta z$ — отклонение от положения равновесия. Поэтому очевидно, что максимальное ускорение груза при колебаниях во втором случае будет при максимальном отклонении груза от положения равновесия $(z = z_{2})$:
$a_{max} = \frac{k(z_{1} - z_{0})}{3M} = \frac{2}{3} g$.
Рассмотрим колебание груза массой $3M$ относительно положения равновесия $(z = z_{2})$. В крайнем верхнем положении полная энергия системы равна потенциальной энергии груза:
$E = \frac{k(z_{1} - z_{2})^{2}}{2} = \frac{2(Mg)^{2}}{k}$.
Потенциальную энергию грузы мы записали через эквивалентную силу, о которой говорилось выше. Если груз при колебании имеет кинетическую энергию $T = 3U_{0}$, то его потенциальная энергия
$\frac{k ( \Delta x)^{2}}{2} = E - T = \frac{2(Mg)^{2}}{k} - 3U_{0}$. (3)
Здесь $\Delta z$ - отклонение от положения равновесия. Из уравнений (1) и (2) следует, что
$a = \frac{k \Delta z}{3M} = \frac{ \sqrt{3kU_{0}}}{3m}$.
С учетом (4)
$a = \frac{g}{3}$.
