Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2899
2017-04-16 
Предположим, что между Калининградской и Московской областями прорыт прямолинейный железнодорожный тоннель, длиной $L = 1000 км$. Вагон ставят на рельсы в начале тоннеля в Московской области и отпускают без начальной скорости. 1) Через какое время вагон достигнет Калининградской области? 2) Найдите максимальную скорость вагона. Землю считать шаром радиусом $R = 6400 км$ с одинаковой плотностью по всему объему. Вращение Земли, сопротивление воздуха и все виды трения при движении не учитывать.
Решение:
Пусть тело массой т движется по тоннелю в виде хорды КL, изображенному на рис. В некоторый момент времени это тело имеет координату х. В этот момент со стороны Земли на него действует сила тяжести, равная
$F = \frac{GmM \cdot 4 \pi r^{3}/3}{r^{2} \cdot 4 \pi R^{3}/3} = \frac{GmMr}{R^{3}}$,
где $M$ — масса Земли, а $r$ — радиус окружности, проходящей через тело массой $m$. Проекция этой силы на ось х равна
$F_{x} = - F \cos \alpha = - F \frac{x}{r} = - \frac{GmMx}{R^{3}} = - mg \frac{x}{R}$,
где $g$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли. Теперь мы можем записать уравнение движения нашего тела:
$m \ddot{x} = - mg \frac{x}{R}$,
или
$\ddot{x} + \frac{g}{R} x = 0$.
Это уравнение описывает гармонические колебания с циклической частотой $\omega = \sqrt{g/R}$. Следовательно, наш вагон достигнет Калининградской области через время, равное половине периода колебаний $(T = 2 \pi/ \omega)$:
$\tau = \pi \sqrt{ \frac{R}{g}} \approx 42 мин$.
Для ответа на второй вопрос будем искать решение уравнения гармонических колебаний в виде
$x(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t$,
где А и В — константы. Используя начальные условия: $x(0) = L/2$ и $\dot{x}(0) = 0$, найдем: $B = L/2$ и $A = 0$. Окончательно получим
$x(t) = \frac{L}{2} \cos \omega t$.
Скорость вагона будет изменяться со временем по закону
$v(t) = \dot{x}(t) = - \frac{L \omega}{2} \sin \omega t$.
Отсюда находим абсолютную величину максимальной скорости вагона:
$v_{m} = \frac{L \omega}{2} = \frac{L}{2} \sqrt{ \frac{g}{R}} \approx 600 м/с$.
Заметим, что максимальную скорость $v_{m}$ можно найти сразу, воспользовавшись связью при гармонических колебаниях между $v_{m}$ и амплитудой колебаний, равной $L/2: v_{m} = \omega \frac{L}{2}$.
Предположим, что между Калининградской и Московской областями прорыт прямолинейный железнодорожный тоннель, длиной $L = 1000 км$. Вагон ставят на рельсы в начале тоннеля в Московской области и отпускают без начальной скорости. 1) Через какое время вагон достигнет Калининградской области? 2) Найдите максимальную скорость вагона. Землю считать шаром радиусом $R = 6400 км$ с одинаковой плотностью по всему объему. Вращение Земли, сопротивление воздуха и все виды трения при движении не учитывать.
Решение:
Пусть тело массой т движется по тоннелю в виде хорды КL, изображенному на рис. В некоторый момент времени это тело имеет координату х. В этот момент со стороны Земли на него действует сила тяжести, равная
$F = \frac{GmM \cdot 4 \pi r^{3}/3}{r^{2} \cdot 4 \pi R^{3}/3} = \frac{GmMr}{R^{3}}$,
где $M$ — масса Земли, а $r$ — радиус окружности, проходящей через тело массой $m$. Проекция этой силы на ось х равна
$F_{x} = - F \cos \alpha = - F \frac{x}{r} = - \frac{GmMx}{R^{3}} = - mg \frac{x}{R}$,
где $g$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли. Теперь мы можем записать уравнение движения нашего тела:
$m \ddot{x} = - mg \frac{x}{R}$,
или
$\ddot{x} + \frac{g}{R} x = 0$.
Это уравнение описывает гармонические колебания с циклической частотой $\omega = \sqrt{g/R}$. Следовательно, наш вагон достигнет Калининградской области через время, равное половине периода колебаний $(T = 2 \pi/ \omega)$:
$\tau = \pi \sqrt{ \frac{R}{g}} \approx 42 мин$.
Для ответа на второй вопрос будем искать решение уравнения гармонических колебаний в виде
$x(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t$,
где А и В — константы. Используя начальные условия: $x(0) = L/2$ и $\dot{x}(0) = 0$, найдем: $B = L/2$ и $A = 0$. Окончательно получим
$x(t) = \frac{L}{2} \cos \omega t$.
Скорость вагона будет изменяться со временем по закону
$v(t) = \dot{x}(t) = - \frac{L \omega}{2} \sin \omega t$.
Отсюда находим абсолютную величину максимальной скорости вагона:
$v_{m} = \frac{L \omega}{2} = \frac{L}{2} \sqrt{ \frac{g}{R}} \approx 600 м/с$.
Заметим, что максимальную скорость $v_{m}$ можно найти сразу, воспользовавшись связью при гармонических колебаниях между $v_{m}$ и амплитудой колебаний, равной $L/2: v_{m} = \omega \frac{L}{2}$.
