Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2891
2017-04-16 
Деревянный шарик, вмороженный в кусок льда, удерживается внутри цилиндрического стакана с водой нитью, прикрепленной ко дну (рис.). Лед с шариком целиком погружен в воду и не касается стенок и дна стакана. После тoгo как лед растаял, шарик остался плавать внутри стакана, целиком погруженный в воду. Сила натяжения нити за время таяния льда уменьшилась при этом в $K$ раз ($K > 1$), а уровень воды в стакане уменьшился на $\Delta H ( \Delta H > 0)$. Чему равен объем шарика, если плотность воды равна $\rho_{в}$, дерева — $\rho ( \rho < \rho_{в})$, площадь внутреннего сечения Стакана $S$.
Решение:
Натяжение нити до таяния льда равно разности выталкивающей силы и силы тяжести шарика, вмороженного в лед:
$T_{1} = \rho_{в} g(V_{л} + V_{ш}) - \rho_{л}g V_{л} - \rho g V_{ш} = g V_{л}( \rho_{в} - \rho_{л}) + gV_{ш}( \rho_{в} - \rho)$,
где $\rho_{л}$ — плотность льда, $V_{л}$ — объем льда, а $V_{ш}$ — объем шарика. После того как лед растаял, новое натяжение нити
$T_{2} = \rho_{в} g V_{ш} - \rho g V_{ш} = gV_{ш}( \rho_{в} - \rho)$.
Условие уменьшения натяжения нити в $K$ раз имеет вид
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = K = \frac{V_{л}( \rho_{в} - \rho_{л}) + V_{ш} ( \rho_{в} - \rho)}{ V_{ш} ( \rho_{в} - \rho)}$. (3)
Уменьшение уровня воды в стакане после того как растаял лед, вызвана положительной разностью плотностей воды и льда $\rho_{в} - \rho_{л} > 0$. Масса растаявшего льда $m_{л} = \rho_{л}V_{л}$, объем воды растаявшего льда $V_{в} = \frac{m_{л}}{ \rho_{в}} = \frac{ \rho_{л}}{ \rho_{в}} V_{л}$. Объем образовавшейся воды меньше объема льда на величину $\Delta V = V_{л} - V_{в} = V_{л}(1 - \rho_{л}/ \rho_{в})$. Это приводит к уменьшению уровня воды в стакане:
$\Delta H \cdot S = \Delta V = V_{л} \frac{ \rho_{в} - \rho_{л}}{\rho_{в}}$. (4)
Исключая из уравнений (3) и (4) объем льда $V_{л}$, получим, что объем шарика
$V_{ш} = \frac{S \Delta H \rho_{в}}{ (K-1) ( \rho_{в} - \rho)}$.
Деревянный шарик, вмороженный в кусок льда, удерживается внутри цилиндрического стакана с водой нитью, прикрепленной ко дну (рис.). Лед с шариком целиком погружен в воду и не касается стенок и дна стакана. После тoгo как лед растаял, шарик остался плавать внутри стакана, целиком погруженный в воду. Сила натяжения нити за время таяния льда уменьшилась при этом в $K$ раз ($K > 1$), а уровень воды в стакане уменьшился на $\Delta H ( \Delta H > 0)$. Чему равен объем шарика, если плотность воды равна $\rho_{в}$, дерева — $\rho ( \rho < \rho_{в})$, площадь внутреннего сечения Стакана $S$.
Решение:
Натяжение нити до таяния льда равно разности выталкивающей силы и силы тяжести шарика, вмороженного в лед:
$T_{1} = \rho_{в} g(V_{л} + V_{ш}) - \rho_{л}g V_{л} - \rho g V_{ш} = g V_{л}( \rho_{в} - \rho_{л}) + gV_{ш}( \rho_{в} - \rho)$,
где $\rho_{л}$ — плотность льда, $V_{л}$ — объем льда, а $V_{ш}$ — объем шарика. После того как лед растаял, новое натяжение нити
$T_{2} = \rho_{в} g V_{ш} - \rho g V_{ш} = gV_{ш}( \rho_{в} - \rho)$.
Условие уменьшения натяжения нити в $K$ раз имеет вид
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = K = \frac{V_{л}( \rho_{в} - \rho_{л}) + V_{ш} ( \rho_{в} - \rho)}{ V_{ш} ( \rho_{в} - \rho)}$. (3)
Уменьшение уровня воды в стакане после того как растаял лед, вызвана положительной разностью плотностей воды и льда $\rho_{в} - \rho_{л} > 0$. Масса растаявшего льда $m_{л} = \rho_{л}V_{л}$, объем воды растаявшего льда $V_{в} = \frac{m_{л}}{ \rho_{в}} = \frac{ \rho_{л}}{ \rho_{в}} V_{л}$. Объем образовавшейся воды меньше объема льда на величину $\Delta V = V_{л} - V_{в} = V_{л}(1 - \rho_{л}/ \rho_{в})$. Это приводит к уменьшению уровня воды в стакане:
$\Delta H \cdot S = \Delta V = V_{л} \frac{ \rho_{в} - \rho_{л}}{\rho_{в}}$. (4)
Исключая из уравнений (3) и (4) объем льда $V_{л}$, получим, что объем шарика
$V_{ш} = \frac{S \Delta H \rho_{в}}{ (K-1) ( \rho_{в} - \rho)}$.
