Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2890
2017-04-16 
Вдоль прямолинейной горизонтальной спицы могут скользить без трения две муфты. Муфта массой $m$ с прикрепленной к ней легкой пружиной жекостью $K$ движется со скоростью $v$ (рис.). Муфта массой $4m$ покоится. Размеры муфт намного меньше длины пружины.
1) Определить скорость муфты массой $4m$ после отрыва от пружины.
2) Определить время контакта муфты массой $4m$ с пружиной.
Решение:
Для ответа на первый вопрос рассмотрим систему тел, состоящую из двух муфт. Вдоль горизонтальной оси на данную систему внешние силы не действуют, а по вертикали сумма внешних сил равна нулю. Это означает, что в любой момент времени у данной системы будут сохраняться энергия и импульс. Пусть после отрыва муфты $4m$ от пружины она имеет скорость $v_{1}$, а муфта массой $m$ — скорость $v_{2}$, и обе скорости направлены вдоль скорости $v$. Запишем законы сохранения полной энергии и импульса наших муфт для двух моментов времени: когда муфта $4m$ неподвижна, а муфта массой $m$ движется со скоростью $v$ и после отрыва муфты $4m$ от пружины:
$\frac{mv^{2}}{2} = \frac{4mv_{1}^{2}}{2} + \frac{mv_{2}^{2}}{2}$ (1)
$mv = 4mv_{1} + mv_{2}$. (2)
Совместное решение уравнений (1) и (2) позволяет найти $v_{1}$, равное
$v_{1} = \frac{2}{5} v$.
Для ответа на второй вопрос удобно перейти в систему координат, связанную с центром масс нашей системы. Очевидно, что эта система будет двигаться со скоростью $v_{цм} = 1/5v$. В этой системе координат в момент касания пружины с муфтой $4m$ ее скорость будет равна $- 1/5v$, а скорость муфты массой $m$ равна $4/5v$. Обозначим длину недеформированной пружины через $L$. Тогда расстояние от муфты $4m$ до центра масс $l_{1} = 1/5L$, а аналогичное расстояние от муфты массой $m$ до центра масс $l_{2} = 4/5L$. После соприкосновения пружины с муфтой $4m$ в системе центра масс обе муфты будут двигаться по гармоническому закону с круговой частотой
$\omega = \sqrt{ \frac{K_{1}}{4m}} = \sqrt{ \frac{K_{2}}{m}}$,
где $K_{1}$ - жесткость пружины длиной $l_{1} (K_{1} = \frac{LK}{l_{2}} = 5K)$, а $K_{2}$ — жесткость пружины длиной $l_{2}, (K_{2} = \frac{LK}{l_{2}} = \frac{5}{4} K$). Частота
$\omega = \sqrt{ \frac{5K}{4m}}$.
Очевидно, что муфта $4m$ оторвется от пружины через время $\tau$, равное половине периода колебаний $T (T = \frac{2 \pi}{ \omega})$ муфт:
$\tau = \frac{1}{2} T = \pi \sqrt{ \frac{4m}{5K}}$.
Вдоль прямолинейной горизонтальной спицы могут скользить без трения две муфты. Муфта массой $m$ с прикрепленной к ней легкой пружиной жекостью $K$ движется со скоростью $v$ (рис.). Муфта массой $4m$ покоится. Размеры муфт намного меньше длины пружины.
1) Определить скорость муфты массой $4m$ после отрыва от пружины.
2) Определить время контакта муфты массой $4m$ с пружиной.
Решение:
Для ответа на первый вопрос рассмотрим систему тел, состоящую из двух муфт. Вдоль горизонтальной оси на данную систему внешние силы не действуют, а по вертикали сумма внешних сил равна нулю. Это означает, что в любой момент времени у данной системы будут сохраняться энергия и импульс. Пусть после отрыва муфты $4m$ от пружины она имеет скорость $v_{1}$, а муфта массой $m$ — скорость $v_{2}$, и обе скорости направлены вдоль скорости $v$. Запишем законы сохранения полной энергии и импульса наших муфт для двух моментов времени: когда муфта $4m$ неподвижна, а муфта массой $m$ движется со скоростью $v$ и после отрыва муфты $4m$ от пружины:
$\frac{mv^{2}}{2} = \frac{4mv_{1}^{2}}{2} + \frac{mv_{2}^{2}}{2}$ (1)
$mv = 4mv_{1} + mv_{2}$. (2)
Совместное решение уравнений (1) и (2) позволяет найти $v_{1}$, равное
$v_{1} = \frac{2}{5} v$.
Для ответа на второй вопрос удобно перейти в систему координат, связанную с центром масс нашей системы. Очевидно, что эта система будет двигаться со скоростью $v_{цм} = 1/5v$. В этой системе координат в момент касания пружины с муфтой $4m$ ее скорость будет равна $- 1/5v$, а скорость муфты массой $m$ равна $4/5v$. Обозначим длину недеформированной пружины через $L$. Тогда расстояние от муфты $4m$ до центра масс $l_{1} = 1/5L$, а аналогичное расстояние от муфты массой $m$ до центра масс $l_{2} = 4/5L$. После соприкосновения пружины с муфтой $4m$ в системе центра масс обе муфты будут двигаться по гармоническому закону с круговой частотой
$\omega = \sqrt{ \frac{K_{1}}{4m}} = \sqrt{ \frac{K_{2}}{m}}$,
где $K_{1}$ - жесткость пружины длиной $l_{1} (K_{1} = \frac{LK}{l_{2}} = 5K)$, а $K_{2}$ — жесткость пружины длиной $l_{2}, (K_{2} = \frac{LK}{l_{2}} = \frac{5}{4} K$). Частота
$\omega = \sqrt{ \frac{5K}{4m}}$.
Очевидно, что муфта $4m$ оторвется от пружины через время $\tau$, равное половине периода колебаний $T (T = \frac{2 \pi}{ \omega})$ муфт:
$\tau = \frac{1}{2} T = \pi \sqrt{ \frac{4m}{5K}}$.
