Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 289
2014-05-31 
Катушка изготовлена из проволоки с малым омическим сопротивлением, намотанной па длинный цилиндрический сердечник с очень большой магнитной проницаемостью. К точкам А и С (рис. а) подключен источник синусоидального напряжения амплитудой $U_{m} = 100 В$.
а) Определите амплитуду напряжения между точками A и B
б) Между точками А и В включают резистор с сопротивлением $R = 10 кОм$. Найдите амплитуду тока, протекающего через источник напряжения.
Точка С находится точно посередине катушки (одинаковое число витков между точками А и С и между точками В и С). Индуктивность катушки $L$. Внутренним сопротивлением катушки пренебречь.
Решение:
а) Обозначим напряжение между точками А и С как $U_{0}$, между точками С и В как $U_{1}$. Очевидно, что $U_{AB} = U_{0}-U_{1}$. Пo условию в катушку вставлен сердечник с очень большой магнитной проницаемостью, следовательно поток магнитной индукции в катушке будет один и тот же на всем ее протяжении, т. е. потоки $Ф_{1}$ через нижнюю часть катушки и $Ф_{2}$ через ее верхнюю часть
одинаковы. Из равенства потоков и закона индукции $U=\frac{dФ}{dt}$ следует равенство напряжений: $U_{0} = U_{1}$. Таким образом, $U_{AB} = 2U_{0}$ с
амплитудным значением $2U_{ь}$.
б) Обозначим величины и направления токов в различных участках цепи, как показано на (рис. 6).
Поток магнитной индукции, создаваемый нижней частью катушки, равен $I_{1}L/2$, а поток, создаваемый верхней частью, равен $I_{2}L/2$, поэтому
$U_{AB}=-\frac{L}{2} \left ( \frac{dI_{1}}{dt}+\frac{dI_{2}}{dt} \right )$. (1)
Кроме того, $U_{AB}=U_{0}+U_{1}=2U_{0}$, откуда
$I_{2}=U_{AB}/R=2U_{0}/R$. (2)
Но закону Кирхгофа $I_{2}=I_{0}+I_{1}$, или $I_{1}=-I_{0}+2U_{0}/R$. Из (1) и (2)
следует
$2U_{0}(t) = - \frac{L}{2} \left ( -\frac{dI_{0}(t)}{dt} + \frac{4}{R} \frac{dU_{0}(t)}{dt} \right )$. (3)
Перепишем равенство (3) в виде
$\frac{dI_{0}}{dt}=\frac{4U_{0}}{L} + \frac{4}{R} frac{dU_{0}(t)}{dt}$. (4)
Представляя в (4) $U_{0}$ в виде $U_{m} \sin \omega t$, получаем
$\frac{dI_{0}}{dt}= \frac{4}{L} U_{m} \sin \omega t + \frac{4 \omega}{R} U_{m} \cos \omega t$. (5)
Решая дифференциальное уравнение (5), находим ток в установившемся режиме
$I_{0}=- \frac{4}{L \omega} U_{m} \cos \omega t + \frac{4}{R} U_{m} \sin \omega t$,
амплитудное значение которого $I_{m}$ равно
$I_{m}=4U_{m} \sqrt{\frac{1}{R^{2}} + \frac{1}{(L \omega)^{2}}}$.
Катушка изготовлена из проволоки с малым омическим сопротивлением, намотанной па длинный цилиндрический сердечник с очень большой магнитной проницаемостью. К точкам А и С (рис. а) подключен источник синусоидального напряжения амплитудой $U_{m} = 100 В$.
а) Определите амплитуду напряжения между точками A и B
б) Между точками А и В включают резистор с сопротивлением $R = 10 кОм$. Найдите амплитуду тока, протекающего через источник напряжения.
Точка С находится точно посередине катушки (одинаковое число витков между точками А и С и между точками В и С). Индуктивность катушки $L$. Внутренним сопротивлением катушки пренебречь.
Решение:
а) Обозначим напряжение между точками А и С как $U_{0}$, между точками С и В как $U_{1}$. Очевидно, что $U_{AB} = U_{0}-U_{1}$. Пo условию в катушку вставлен сердечник с очень большой магнитной проницаемостью, следовательно поток магнитной индукции в катушке будет один и тот же на всем ее протяжении, т. е. потоки $Ф_{1}$ через нижнюю часть катушки и $Ф_{2}$ через ее верхнюю часть
одинаковы. Из равенства потоков и закона индукции $U=\frac{dФ}{dt}$ следует равенство напряжений: $U_{0} = U_{1}$. Таким образом, $U_{AB} = 2U_{0}$ с
амплитудным значением $2U_{ь}$.
б) Обозначим величины и направления токов в различных участках цепи, как показано на (рис. 6).
Поток магнитной индукции, создаваемый нижней частью катушки, равен $I_{1}L/2$, а поток, создаваемый верхней частью, равен $I_{2}L/2$, поэтому
$U_{AB}=-\frac{L}{2} \left ( \frac{dI_{1}}{dt}+\frac{dI_{2}}{dt} \right )$. (1)
Кроме того, $U_{AB}=U_{0}+U_{1}=2U_{0}$, откуда
$I_{2}=U_{AB}/R=2U_{0}/R$. (2)
Но закону Кирхгофа $I_{2}=I_{0}+I_{1}$, или $I_{1}=-I_{0}+2U_{0}/R$. Из (1) и (2)
следует
$2U_{0}(t) = - \frac{L}{2} \left ( -\frac{dI_{0}(t)}{dt} + \frac{4}{R} \frac{dU_{0}(t)}{dt} \right )$. (3)
Перепишем равенство (3) в виде
$\frac{dI_{0}}{dt}=\frac{4U_{0}}{L} + \frac{4}{R} frac{dU_{0}(t)}{dt}$. (4)
Представляя в (4) $U_{0}$ в виде $U_{m} \sin \omega t$, получаем
$\frac{dI_{0}}{dt}= \frac{4}{L} U_{m} \sin \omega t + \frac{4 \omega}{R} U_{m} \cos \omega t$. (5)
Решая дифференциальное уравнение (5), находим ток в установившемся режиме
$I_{0}=- \frac{4}{L \omega} U_{m} \cos \omega t + \frac{4}{R} U_{m} \sin \omega t$,
амплитудное значение которого $I_{m}$ равно
$I_{m}=4U_{m} \sqrt{\frac{1}{R^{2}} + \frac{1}{(L \omega)^{2}}}$.
