Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 288
2014-05-31 
Две одинаковые катушки имеют общий сердечник и соединенные с двумя одинаковыми конденсаторами по схеме, изображенной на (рис. а). Какие электрические колебания возможны в такой системе? Емкость конденсатора С, индуктивность отдельной катушки L, активное сопротивление катушек и соединительных проводов пренебрежимо малы.
Решение:
Пусть в некоторый момент t (через катушки протекают токи, мгновенные значения которых $I_{1}(t)$ и $I_{2}(t)$, а на конденсаторах сосредоточены заряды $Q_{1}(t)$ и $Q_{2}(t)$. Для определенности эти токи и заряды будем считать положительными, если они имеют направления и полярности, показанные на (рис. а). Противоположным направлениям тока и полярностям отвечают их отрицательные значения. Мгновенные значения магнитных потоков пронизывающих катушки, обозначим через $Ф_{1}$ и $Ф_{2}$.
В любой момент времени падения напряжения $U_{L1}$ и $U_{L2}$ на катушках и падения напряжения $U_{C1}$ и $U_{C1}$ на подсоединенных параллельно к ним конденсаторах равны, т. е. имеют место равенство
$U_{L1}=U_{C1}, U_{L2}=U_{C2}$. (1)
Так как
$U_{L1}=-\frac{d \Phi_{1}}{dt}, U_{L2}=-\frac{d \Phi_{2}}{dt}, U_{C1}=\frac{Q_{1}}{C}, U_{C2}=\frac{Q_{2}}{C}$,
и равенства (1) принимают вид
$-\frac{d \Phi_{1}}{dt}=\frac{Q_{1}}{C},-\frac{d \Phi_{2}}{dt}=\frac{Q_{2}}{C}$. (2)
Катушки одинаковы и намотаны на общем сердечнике, поэтому пронизывающие их потоки $ \Phi_{1}$ и $ \Phi_{2}$ равны по абсолютной величине:
$\Phi_{2}=\pm \Phi_{1}$, (3)
Если обе катушки намотаны в одну сторону, то в равенстве (3) знак плюс, в противном случае знак минус.
С учетом равенства (3) из формул (2) получаем, что
$Q_{1}= \pm Q_{2}$. (4)
Из (рис. a) видно, что положительным значениям токов $I_{1}$ и $I_{2}$ отвечают положительные приращения зарядов $dQ_{1}$ и $dQ_{2}$, т. е.
$I_{1}=\frac{dQ_{1}}{dt}, I_{2}=\frac{dQ_{2}}{dt}$. (5)
Имея в виду равенство (4), из (5) находим, что
$I_{1}= \pm I_{2}$. (6)
Потоки магнитной индукции $ \Phi_{1}^{\prime}$ и $ \Phi_{2}^{\prime}$, создаваемые каждой катушкой по отдельности, определяются формулами
$ \Phi_{1}^{\prime}=LI_{1}, \Phi_{2}^{\prime}=LI_{2}$.
Потоки $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$, пронизывающие катушки, являются алгебраическими суммами величин $\Phi_{1}^{\prime}$ и $\Phi_{2}^{\prime}$:
$\Phi_{1}=\pm \Phi_{2} = \Phi_{1}^{\prime} \pm \Phi_{2}^{\prime}=L(I_{1} \pm I_{2})=2LI_{1}= \pm 2LI_{2}$. (7)
С учетом соотношений (7) равенства (2) принимают вид
$-2L \frac{dI_{1}}{dt}=\frac{Q_{1}}{C}, -2L \frac{dI_{2}}{dt}=\frac{Q_{2}}{C}$. (8)
Дифференцируя равенства (9) по t и принимая во внимание равенства (5), нетрудно получить уравнения
$\frac{d^{2}I_{1}}{dt^{2}}=- \frac{I_{1}}{2LC},\frac{d^{2}I_{2}}{dt^{2}}=- \frac{I_{2}}{2LC}$
Каждое уравнение описывает колебательный процесс; их решение имеют вид
$I_{1}=I_{01} \cos ( \omega t +\phi_{1}), I_{2}=I_{02} \cos ( \omega t +\phi_{2})$.
Здесь $\omega \equiv 1/\sqrt{2LC}$ - круговая частота, $I_{01}$ и $I_{02}$ - амплитудные значения токов, $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ - начальные фазы. Ясно, что амплитудные значения токов в катушках совпадают: $I_{01}=I_{02}$, а фазы или совпадают ($\phi_{1}=\phi_{2}$ для случая одинаковой намотки катушек), или различаются на $\pi$ ($\phi_{2}=\phi_{1}+\pi$ для случая противоположной намотки катушек).
Итак, электрические колебания в этой системе можно представить в виде суммы колебаний в двух одинаковых контурах с “эффективной индуктивностью $2L$ и емкостью $C$ каждый, совершившихся или в "фазе" (рис. б), или в "противофазе" (рис. с).
Две одинаковые катушки имеют общий сердечник и соединенные с двумя одинаковыми конденсаторами по схеме, изображенной на (рис. а). Какие электрические колебания возможны в такой системе? Емкость конденсатора С, индуктивность отдельной катушки L, активное сопротивление катушек и соединительных проводов пренебрежимо малы.
Решение:
Пусть в некоторый момент t (через катушки протекают токи, мгновенные значения которых $I_{1}(t)$ и $I_{2}(t)$, а на конденсаторах сосредоточены заряды $Q_{1}(t)$ и $Q_{2}(t)$. Для определенности эти токи и заряды будем считать положительными, если они имеют направления и полярности, показанные на (рис. а). Противоположным направлениям тока и полярностям отвечают их отрицательные значения. Мгновенные значения магнитных потоков пронизывающих катушки, обозначим через $Ф_{1}$ и $Ф_{2}$.
В любой момент времени падения напряжения $U_{L1}$ и $U_{L2}$ на катушках и падения напряжения $U_{C1}$ и $U_{C1}$ на подсоединенных параллельно к ним конденсаторах равны, т. е. имеют место равенство
$U_{L1}=U_{C1}, U_{L2}=U_{C2}$. (1)
Так как
$U_{L1}=-\frac{d \Phi_{1}}{dt}, U_{L2}=-\frac{d \Phi_{2}}{dt}, U_{C1}=\frac{Q_{1}}{C}, U_{C2}=\frac{Q_{2}}{C}$,
и равенства (1) принимают вид
$-\frac{d \Phi_{1}}{dt}=\frac{Q_{1}}{C},-\frac{d \Phi_{2}}{dt}=\frac{Q_{2}}{C}$. (2)
Катушки одинаковы и намотаны на общем сердечнике, поэтому пронизывающие их потоки $ \Phi_{1}$ и $ \Phi_{2}$ равны по абсолютной величине:
$\Phi_{2}=\pm \Phi_{1}$, (3)
Если обе катушки намотаны в одну сторону, то в равенстве (3) знак плюс, в противном случае знак минус.
С учетом равенства (3) из формул (2) получаем, что
$Q_{1}= \pm Q_{2}$. (4)
Из (рис. a) видно, что положительным значениям токов $I_{1}$ и $I_{2}$ отвечают положительные приращения зарядов $dQ_{1}$ и $dQ_{2}$, т. е.
$I_{1}=\frac{dQ_{1}}{dt}, I_{2}=\frac{dQ_{2}}{dt}$. (5)
Имея в виду равенство (4), из (5) находим, что
$I_{1}= \pm I_{2}$. (6)
Потоки магнитной индукции $ \Phi_{1}^{\prime}$ и $ \Phi_{2}^{\prime}$, создаваемые каждой катушкой по отдельности, определяются формулами
$ \Phi_{1}^{\prime}=LI_{1}, \Phi_{2}^{\prime}=LI_{2}$.
Потоки $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$, пронизывающие катушки, являются алгебраическими суммами величин $\Phi_{1}^{\prime}$ и $\Phi_{2}^{\prime}$:
$\Phi_{1}=\pm \Phi_{2} = \Phi_{1}^{\prime} \pm \Phi_{2}^{\prime}=L(I_{1} \pm I_{2})=2LI_{1}= \pm 2LI_{2}$. (7)
С учетом соотношений (7) равенства (2) принимают вид
$-2L \frac{dI_{1}}{dt}=\frac{Q_{1}}{C}, -2L \frac{dI_{2}}{dt}=\frac{Q_{2}}{C}$. (8)
Дифференцируя равенства (9) по t и принимая во внимание равенства (5), нетрудно получить уравнения
$\frac{d^{2}I_{1}}{dt^{2}}=- \frac{I_{1}}{2LC},\frac{d^{2}I_{2}}{dt^{2}}=- \frac{I_{2}}{2LC}$
Каждое уравнение описывает колебательный процесс; их решение имеют вид
$I_{1}=I_{01} \cos ( \omega t +\phi_{1}), I_{2}=I_{02} \cos ( \omega t +\phi_{2})$.
Здесь $\omega \equiv 1/\sqrt{2LC}$ - круговая частота, $I_{01}$ и $I_{02}$ - амплитудные значения токов, $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ - начальные фазы. Ясно, что амплитудные значения токов в катушках совпадают: $I_{01}=I_{02}$, а фазы или совпадают ($\phi_{1}=\phi_{2}$ для случая одинаковой намотки катушек), или различаются на $\pi$ ($\phi_{2}=\phi_{1}+\pi$ для случая противоположной намотки катушек).
Итак, электрические колебания в этой системе можно представить в виде суммы колебаний в двух одинаковых контурах с “эффективной индуктивностью $2L$ и емкостью $C$ каждый, совершившихся или в "фазе" (рис. б), или в "противофазе" (рис. с).
