Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2874
2017-04-16 
Половину поверхности прозрачного шара посеребрили. На прозрачную половину шара из воздуха падает пучок света, параллельный оптической оси системы, ширина которого больше диаметра шара (рис.). При каких значениях показателя преломления шара $n (n > 1)$ найдётся по крайней мере один не лежащий на оптической оси системы луч, который после двух преломлений и одного отражения выйдет в воздух строго параллельно исходному направлению?
Решение:
Из симметрии относительно оптической оси системы и обратимости хода лучей следует, что при выполнении условия задачи входящий и выходящий лучи расположены симметрично относительно оси.
Тогда ход лучей имеет показанный на рис. вид, и из несложных геометрических рассуждений следует, что угол падения $i$ связан с углом преломления $r$ соотношением $i=2r$ (например, можно заметить, что угол $i$ - внешний к равнобедренному треугольнику AOB, углы при основании в котором и равны $r$). С другой стороны, эти углы связаны законом преломления: $\sin i = n \sin r$. Заметим также, что $i \neq O$ (падающий луч не лежит на оси).
Тогда должно выполняться соотношение $\sin i = n \sin (i/2)$, откуда $\cos (i/2) = n/2$. С одной стороны, $\cos (i/2) < 1$, поэтому $n < 2$. С другой стороны, $i < 90^{ \circ}$, поэтому $n/2 \geq \cos 45^{ \circ}$ (косинус - убывающая функция). Объединение этих двух условий приводит к неравенству $\sqrt{2} \leq n < 2$.
Ответ: $\sqrt{2} \leq n \leq 2$
Комментарий: аналогичный ход лучей в водяной капле приводит к образованию радуги. Однако поскольку показатель преломления воды $n = 1,33$ не попадает в указанный интервал, в этом случае выход луча параллельно упавшему на каплю невозможен.
Половину поверхности прозрачного шара посеребрили. На прозрачную половину шара из воздуха падает пучок света, параллельный оптической оси системы, ширина которого больше диаметра шара (рис.). При каких значениях показателя преломления шара $n (n > 1)$ найдётся по крайней мере один не лежащий на оптической оси системы луч, который после двух преломлений и одного отражения выйдет в воздух строго параллельно исходному направлению?
Решение:
Из симметрии относительно оптической оси системы и обратимости хода лучей следует, что при выполнении условия задачи входящий и выходящий лучи расположены симметрично относительно оси.
Тогда ход лучей имеет показанный на рис. вид, и из несложных геометрических рассуждений следует, что угол падения $i$ связан с углом преломления $r$ соотношением $i=2r$ (например, можно заметить, что угол $i$ - внешний к равнобедренному треугольнику AOB, углы при основании в котором и равны $r$). С другой стороны, эти углы связаны законом преломления: $\sin i = n \sin r$. Заметим также, что $i \neq O$ (падающий луч не лежит на оси).
Тогда должно выполняться соотношение $\sin i = n \sin (i/2)$, откуда $\cos (i/2) = n/2$. С одной стороны, $\cos (i/2) < 1$, поэтому $n < 2$. С другой стороны, $i < 90^{ \circ}$, поэтому $n/2 \geq \cos 45^{ \circ}$ (косинус - убывающая функция). Объединение этих двух условий приводит к неравенству $\sqrt{2} \leq n < 2$.
Ответ: $\sqrt{2} \leq n \leq 2$
Комментарий: аналогичный ход лучей в водяной капле приводит к образованию радуги. Однако поскольку показатель преломления воды $n = 1,33$ не попадает в указанный интервал, в этом случае выход луча параллельно упавшему на каплю невозможен.
