Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2873
2017-04-16 
К батарейке с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением г подключены параллельно друг другу идеальная катушка индуктивности и резистор сопротивлением $R$ (рис.). Определите, как должна зависеть от времени индуктивность катушки, чтобы через нее тек постоянный ток $I_{0}$.
Решение:
Пусть $I$ - ток, текущий через источник. ЭДС индукции в катушке по определению есть $\mathcal{E}_{1} = - \frac{d \Phi}{ dt} = - \frac{dLI_{0}}{dt} = - I_{0} \frac{dL}{dt}$. В этом случае 2-й закон Кирхгофа, записанный для двух контуров, будет иметь вид
$\mathcal{E} = (I - I_{0}) R + Ir$ и $-I_{0} dL/dt = (I - I_{0})R$.
Исключая из них $I$, получаем $\frac{dL}{dt} = \left( r - \frac{ \mathcal{E}}{I} \right ) \frac{R}{R+r}$. Поскольку все величины в правой части постоянны, то индуктивность будет зависеть от времени по закону $L = \left ( r - \frac{ \mathcal{E}}{ I_{0}} \right ) \frac{R}{R+r} t + const$. Обратим внимание, что при $\frac{ \mathcal{E}}{r} = I_{0}$ индуктивность остается постоянной. Действительно, в этом случае источник фактически замкнут накоротко, поскольку индуктивность идеальная, а соответствующий ток и есть ток короткого замыкания.
Ответ: $L = \left ( r - \frac{ \mathcal{E}}{ I_{0}} \right ) \frac{R}{R+r} t + const$
К батарейке с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением г подключены параллельно друг другу идеальная катушка индуктивности и резистор сопротивлением $R$ (рис.). Определите, как должна зависеть от времени индуктивность катушки, чтобы через нее тек постоянный ток $I_{0}$.
Решение:
Пусть $I$ - ток, текущий через источник. ЭДС индукции в катушке по определению есть $\mathcal{E}_{1} = - \frac{d \Phi}{ dt} = - \frac{dLI_{0}}{dt} = - I_{0} \frac{dL}{dt}$. В этом случае 2-й закон Кирхгофа, записанный для двух контуров, будет иметь вид
$\mathcal{E} = (I - I_{0}) R + Ir$ и $-I_{0} dL/dt = (I - I_{0})R$.
Исключая из них $I$, получаем $\frac{dL}{dt} = \left( r - \frac{ \mathcal{E}}{I} \right ) \frac{R}{R+r}$. Поскольку все величины в правой части постоянны, то индуктивность будет зависеть от времени по закону $L = \left ( r - \frac{ \mathcal{E}}{ I_{0}} \right ) \frac{R}{R+r} t + const$. Обратим внимание, что при $\frac{ \mathcal{E}}{r} = I_{0}$ индуктивность остается постоянной. Действительно, в этом случае источник фактически замкнут накоротко, поскольку индуктивность идеальная, а соответствующий ток и есть ток короткого замыкания.
Ответ: $L = \left ( r - \frac{ \mathcal{E}}{ I_{0}} \right ) \frac{R}{R+r} t + const$
