Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2872
2017-04-16 
В дне цилиндрической емкости с площадью основания $10 м^{2}$ имеется отверстие площадью 50 см , к которому приделана U - образная трубка с сечением такой же площади. В начальный момент времени в трубке находится вода, причем ее левое колено полностью заполнено, а в емкости воды нет (рис.). На высоте 10 м от основания емкость закрыта поршнем массой 100 кг, под которым находится 50 кг воздуха. Вся система поддерживается в течение долгого времени при постоянной температуре $80^{ \circ} С$. На сколько повысится уровень воды в правом колене, если на поршень медленно насыпать песок общей массой 50 тонн? Считайте, что вода не выливается из трубки и не уходит из левого колена полностью. Атмосферное давление $10^{5} Па$, молярная масса воздуха 29 г/моль, воды 18 г/моль, плотность воды $1000 кг/м^{3}$.
Решение:
Обозначим: давление атмосферы $p_{0}$, масса поршня $M$, масса добавочного груза $m$, площадь большого сосуда $S$, маленького $S^{ \prime}$. Остальные обозначения показаны на рис.
Проведем предварительные расчеты: заметим, что поршень массой 100 кг и площадью $10 м^{2}$ создает избыточное давление всего 100 Па, поэтому по сравнению с атмосферным давлением $10^{5} Па$ им можно пренебрегать. Объем под поршнем в начальном положении $100 м^{3}$. Воздух массой 50 кг, занимающий этот объем при температуре 350 К, создаст под поршнем давление $p = mRT/MV \approx 5 \cdot 10^{4} Па = 0,5 атм$. Этого недостаточно, чтобы компенсировать атмосферное давление снаружи, поэтому кроме давления воздуха необходимо учитывать и давление насыщенных паров воды, которое, следовательно, составляет $p_{п} = 5 \cdot 10^{4} Па$.
При добавлении на поршень дополнительного груза он опустится вниз на некоторое расстояние $\Delta H$, в результате уровень воды как в левом, так и в правом коленах трубки изменится.
Запишем условие равенства гидростатических давлений на обеих концах соединительной трубки:
в начальном положении $p_{0} + \frac{Mg}{S} + \rho g h_{0} = p_{0} + \rho gh$
в конечном положении $p_{0} + \frac{(M+m)g}{S} + \rho g (h_{0} - \Delta h) = p_{0} + \rho g(h + \Delta h^{ \prime})$
Вычитая эти уравнения, имеем $\frac{mg}{S} = \rho g ( \Delta h + \Delta h^{ \prime})$ (1)
Запишем условие равновесия поршня:
в начальном положении $p_{0} = p_{п} + \frac{ \nu_{возд} RT}{SH}$
в конечном положении: $p_{0} + \frac{mg}{} = p_{п} + \frac{ \nu_{возд} RT}{S(H - \Delta H) + S^{ \prime} \Delta h}$
Здесь учтено, что, поскольку песок насыпают медленно, то процесс происходит изотермически, при этом давление насыщенного пара не меняется, а давление воздуха меняется в соответствии с уравнением состояния идеального газа. Вычитая эти уравнения, получаем
$\frac{mg}{S} = \frac{ \nu_{возд} RT}{SH} \left ( \frac{1}{ 1 - \frac{ \Delta H}{H} + \frac{S^{ \prime}}{S} \frac{ \Delta h}{H}} - 1 \right ) = \frac{ \nu_{возд}RT}{SH} \left ( \frac{1}{1 - \frac{S \Delta H - S^{ \prime} \Delta h}{SH}} - 1 \right )$ (2)
В результате описанной процедуры объем газа под поршнем уменьшился на $S \Delta H - S^{ \prime} \Delta h$. Содержавшийся в этом объеме пар сконденсировался, и образовавшаяся вода прибавилась к уже имевшейся в узкой трубке. Это привело к дополнительному повышению уровня на $\Delta h^{ \prime} - \Delta h = \frac{p_{п} (S \Delta H - S^{ \prime} \Delta h) \mu}{ \rho S^{ \prime} RT}$ (3) ($ \mu$ - молярная масса воды, $\rho$ - ее плотность).
Выражая $S \Delta H - S^{ \prime} \Delta h$ из (2) и подставляя в (3), имеем
$\Delta h^{ \prime} - \Delta h = \frac{ p_{п} \mu SH}{ \rho S^{ \prime} RT} \frac{mgH}{ mgH + \nu_{возд} RT}$
Полученное уравнение совместно с уравнением (1) образует простую систему, из которой несложно найти требуемое значение $\Delta h^{ \prime}$ (на этом этапе решения целесообразно подставить числа):
$\Delta h^{ \prime} - \Delta h = \frac{5 \cdot 10^{4} \cdot 18 \cdot 10^{-3} \cdot 10 \cdot 10}{10^{3} \cdot 50 \cdot 10^{-4} \cdot 8,31 \cdot 350} \frac{50 \cdot 10^{3} \cdot 10 \cdot 10}{50 \cdot 10^{3} \cdot 10 \cdot 10 + \frac{50}{29 \cdot 10^{-3}} \cdot 8,31 \cdot 350} \approx 3,1 м$
$\Delta h + \Delta h^{ \prime} = \frac{m}{S \rho} = 5,0 м$. Отсюда $\Delta h^{ \prime} \approx 4 м$
Заметим, что без учета конденсации пара получился бы ответ 2,5 м, т.е. в данном случае эффект оказывается существенным.
Ответ: примерно на 4 м.
В дне цилиндрической емкости с площадью основания $10 м^{2}$ имеется отверстие площадью 50 см , к которому приделана U - образная трубка с сечением такой же площади. В начальный момент времени в трубке находится вода, причем ее левое колено полностью заполнено, а в емкости воды нет (рис.). На высоте 10 м от основания емкость закрыта поршнем массой 100 кг, под которым находится 50 кг воздуха. Вся система поддерживается в течение долгого времени при постоянной температуре $80^{ \circ} С$. На сколько повысится уровень воды в правом колене, если на поршень медленно насыпать песок общей массой 50 тонн? Считайте, что вода не выливается из трубки и не уходит из левого колена полностью. Атмосферное давление $10^{5} Па$, молярная масса воздуха 29 г/моль, воды 18 г/моль, плотность воды $1000 кг/м^{3}$.
Решение:
Обозначим: давление атмосферы $p_{0}$, масса поршня $M$, масса добавочного груза $m$, площадь большого сосуда $S$, маленького $S^{ \prime}$. Остальные обозначения показаны на рис.
Проведем предварительные расчеты: заметим, что поршень массой 100 кг и площадью $10 м^{2}$ создает избыточное давление всего 100 Па, поэтому по сравнению с атмосферным давлением $10^{5} Па$ им можно пренебрегать. Объем под поршнем в начальном положении $100 м^{3}$. Воздух массой 50 кг, занимающий этот объем при температуре 350 К, создаст под поршнем давление $p = mRT/MV \approx 5 \cdot 10^{4} Па = 0,5 атм$. Этого недостаточно, чтобы компенсировать атмосферное давление снаружи, поэтому кроме давления воздуха необходимо учитывать и давление насыщенных паров воды, которое, следовательно, составляет $p_{п} = 5 \cdot 10^{4} Па$.
При добавлении на поршень дополнительного груза он опустится вниз на некоторое расстояние $\Delta H$, в результате уровень воды как в левом, так и в правом коленах трубки изменится.
Запишем условие равенства гидростатических давлений на обеих концах соединительной трубки:
в начальном положении $p_{0} + \frac{Mg}{S} + \rho g h_{0} = p_{0} + \rho gh$
в конечном положении $p_{0} + \frac{(M+m)g}{S} + \rho g (h_{0} - \Delta h) = p_{0} + \rho g(h + \Delta h^{ \prime})$
Вычитая эти уравнения, имеем $\frac{mg}{S} = \rho g ( \Delta h + \Delta h^{ \prime})$ (1)
Запишем условие равновесия поршня:
в начальном положении $p_{0} = p_{п} + \frac{ \nu_{возд} RT}{SH}$
в конечном положении: $p_{0} + \frac{mg}{} = p_{п} + \frac{ \nu_{возд} RT}{S(H - \Delta H) + S^{ \prime} \Delta h}$
Здесь учтено, что, поскольку песок насыпают медленно, то процесс происходит изотермически, при этом давление насыщенного пара не меняется, а давление воздуха меняется в соответствии с уравнением состояния идеального газа. Вычитая эти уравнения, получаем
$\frac{mg}{S} = \frac{ \nu_{возд} RT}{SH} \left ( \frac{1}{ 1 - \frac{ \Delta H}{H} + \frac{S^{ \prime}}{S} \frac{ \Delta h}{H}} - 1 \right ) = \frac{ \nu_{возд}RT}{SH} \left ( \frac{1}{1 - \frac{S \Delta H - S^{ \prime} \Delta h}{SH}} - 1 \right )$ (2)
В результате описанной процедуры объем газа под поршнем уменьшился на $S \Delta H - S^{ \prime} \Delta h$. Содержавшийся в этом объеме пар сконденсировался, и образовавшаяся вода прибавилась к уже имевшейся в узкой трубке. Это привело к дополнительному повышению уровня на $\Delta h^{ \prime} - \Delta h = \frac{p_{п} (S \Delta H - S^{ \prime} \Delta h) \mu}{ \rho S^{ \prime} RT}$ (3) ($ \mu$ - молярная масса воды, $\rho$ - ее плотность).
Выражая $S \Delta H - S^{ \prime} \Delta h$ из (2) и подставляя в (3), имеем
$\Delta h^{ \prime} - \Delta h = \frac{ p_{п} \mu SH}{ \rho S^{ \prime} RT} \frac{mgH}{ mgH + \nu_{возд} RT}$
Полученное уравнение совместно с уравнением (1) образует простую систему, из которой несложно найти требуемое значение $\Delta h^{ \prime}$ (на этом этапе решения целесообразно подставить числа):
$\Delta h^{ \prime} - \Delta h = \frac{5 \cdot 10^{4} \cdot 18 \cdot 10^{-3} \cdot 10 \cdot 10}{10^{3} \cdot 50 \cdot 10^{-4} \cdot 8,31 \cdot 350} \frac{50 \cdot 10^{3} \cdot 10 \cdot 10}{50 \cdot 10^{3} \cdot 10 \cdot 10 + \frac{50}{29 \cdot 10^{-3}} \cdot 8,31 \cdot 350} \approx 3,1 м$
$\Delta h + \Delta h^{ \prime} = \frac{m}{S \rho} = 5,0 м$. Отсюда $\Delta h^{ \prime} \approx 4 м$
Заметим, что без учета конденсации пара получился бы ответ 2,5 м, т.е. в данном случае эффект оказывается существенным.
Ответ: примерно на 4 м.
