Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2869
2017-04-16 
Зеркало имеет форму параболоида вращения с фокусным расстоянием $F$ и высотой $4F$, накрытого сверху плоской пластиной, на которой на расстоянии $a$ от оси параболоида закреплен источник света. Источник испускает тонкий луч света, параллельный оси параболоида (рис.). Определите расстояние между источником и точкой, в которой отраженный от зеркала луч попадает на пластину первый раз.
Решение:
Падающий луч пересекается с зеркалом в точке с координатами $(a, a^{2}/4F)$, и, в соответствии со свойствами параболы, отраженный луч проходит через фокус (в дальнейшем решении полагаем $a > 0$, поскольку случай $a < 0$ абсолютно аналогичен). Возможны два различных вариант: либо а) отраженный луч сразу попадет на пластину, либо б) он сначала попадет на зеркало и отразится второй раз. В этом случае в соответствии со свойствами параболы он после отражения пойдет параллельно оси.
Уравнение отраженного первый раз луча можно построить как уравнение прямой, проходящей через две точки: $(a, a^{2}/4F)$ и $(0,F)$
$\frac{y-F}{x-0} = \frac{a^{2}/4F - F}{a-0}$, откуда $y = x \left ( \frac{a}{4F} - \frac{F}{a} \right ) + F$, или $x = a \frac{(y-F)}{a^{2}/4F-F}$
Условию, разграничивающему варианты а) и б), соответствует попадание луча в точку $(- 4F, 4F)$, что дает уравнение $a^{2} - 3Fa + 4F^{2} = 0, a = F$ ( с учетом условия $a > 0$). Построением несложно убедиться, что вариант а) реализуется при $a < F$. В этом случае точка пересечения луча с пластиной имеет горизонтальную координату $x_{a} = x = a \frac{(4F-F)}{a^{2}/4F - F}$. Тогда искомое расстояние $\Delta = |x_{a} - a| = a \frac{16F^{2} - a^{2}}{4F^{2} - a^{2}}$.
В варианте б) нужно найти точку пересечения отраженного луча с параболой:
$\begin{cases} y = x \left ( \frac{a}{4F} - \frac{F}{a} \right ) + F \\ y = \frac{x^{2}}{4F} \end{cases}$, $x^{2} - x \left ( a - \frac{4F^{2}}{a} \right ) - 4F^{2} = 0, x = - \frac{4F^{2}}{a}$ (отбрасывая корень $x=a$, соответствующий первому отражению).
После второго отражения луч идет вдоль оси, поэтому его точка пересечения с пластиной будет иметь такую же координату, и тогда $\Delta = a + 4F^{2}/a$.
Ответ: $a \frac{16F^{2} - a^{2}}{4F^{2} - a^{2}}$ при $a < F, a + 4F^{2}/a$ при $a > F$
Зеркало имеет форму параболоида вращения с фокусным расстоянием $F$ и высотой $4F$, накрытого сверху плоской пластиной, на которой на расстоянии $a$ от оси параболоида закреплен источник света. Источник испускает тонкий луч света, параллельный оси параболоида (рис.). Определите расстояние между источником и точкой, в которой отраженный от зеркала луч попадает на пластину первый раз.
Решение:
Падающий луч пересекается с зеркалом в точке с координатами $(a, a^{2}/4F)$, и, в соответствии со свойствами параболы, отраженный луч проходит через фокус (в дальнейшем решении полагаем $a > 0$, поскольку случай $a < 0$ абсолютно аналогичен). Возможны два различных вариант: либо а) отраженный луч сразу попадет на пластину, либо б) он сначала попадет на зеркало и отразится второй раз. В этом случае в соответствии со свойствами параболы он после отражения пойдет параллельно оси.
Уравнение отраженного первый раз луча можно построить как уравнение прямой, проходящей через две точки: $(a, a^{2}/4F)$ и $(0,F)$
$\frac{y-F}{x-0} = \frac{a^{2}/4F - F}{a-0}$, откуда $y = x \left ( \frac{a}{4F} - \frac{F}{a} \right ) + F$, или $x = a \frac{(y-F)}{a^{2}/4F-F}$
Условию, разграничивающему варианты а) и б), соответствует попадание луча в точку $(- 4F, 4F)$, что дает уравнение $a^{2} - 3Fa + 4F^{2} = 0, a = F$ ( с учетом условия $a > 0$). Построением несложно убедиться, что вариант а) реализуется при $a < F$. В этом случае точка пересечения луча с пластиной имеет горизонтальную координату $x_{a} = x = a \frac{(4F-F)}{a^{2}/4F - F}$. Тогда искомое расстояние $\Delta = |x_{a} - a| = a \frac{16F^{2} - a^{2}}{4F^{2} - a^{2}}$.
В варианте б) нужно найти точку пересечения отраженного луча с параболой:
$\begin{cases} y = x \left ( \frac{a}{4F} - \frac{F}{a} \right ) + F \\ y = \frac{x^{2}}{4F} \end{cases}$, $x^{2} - x \left ( a - \frac{4F^{2}}{a} \right ) - 4F^{2} = 0, x = - \frac{4F^{2}}{a}$ (отбрасывая корень $x=a$, соответствующий первому отражению).
После второго отражения луч идет вдоль оси, поэтому его точка пересечения с пластиной будет иметь такую же координату, и тогда $\Delta = a + 4F^{2}/a$.
Ответ: $a \frac{16F^{2} - a^{2}}{4F^{2} - a^{2}}$ при $a < F, a + 4F^{2}/a$ при $a > F$
