Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2868
2017-04-16 
К стене бассейна плотно прижат (но не приклеен) кубик, полностью находящийся под водой и не касающийся дна. Между стенкой кубика и стеной бассейна вода не проникает, поэтому между ними действует сила сухого трения, коэффициент трения равен $\mu$. Уровень воды в бассейне начинают медленно понижать до тех пор, пока ее уровень не опустится до верхней грани кубика. При какой плотности кубика он будет оставаться в покое все это время? Плотность воды ро, считайте, что кубик может двигаться только поступательно.
Решение:
Пусть плотность кубика $\rho > \rho_{0}$. Тогда сумма сил тяжести и Архимеда, равная $g( \rho - \rho_{0})a^{3}$, стремится сместить кубик вниз. Этой силе противодействует сила сухого трения $\mu N$, где $N$ - сила нормальной реакции стенки, равная силе давления воды на боковую грань кубика. Очевидно, что эта сила уменьшается с уменьшением уровня воды, в то время как сила Архимеда при этом не меняется. Поэтому достаточно рассмотреть предельный случай, когда уровень воды находится вровень с верхней гранью кубика. Поскольку давление воды линейно зависит от глубины, то для вычисления силы можно использовать среднее давление воды $\rho ga/2$, тогда $N = \rho g a^{3} /2$, и условие равновесия принимает вид
$g( \rho - \rho_{0}) a^{3} \leq \mu \rho_{0} ga^{3}/2$, откуда $\rho \leq \rho_{0} ( 1 + \mu/2)$.
В случае $\rho < \rho_{0}$ абсолютно аналогичные вычисления приводят к результату $\rho > \rho_{0} (1 - \mu /2)$.
Ответ: $\rho_{0} (1 - \mu /2) \leq \rho \leq \rho_{0}(1 + \mu /2)$.
Комментарий: в действительности условие поступательного движения кубика выполняется не всегда. В случае очень легкого либо очень тяжелого кубика он начнет вращаться раньше, чем скользить вдоль стенки. Точный расчет (требующий вычисления интеграла вида $\int x^{2} dx$ для определения момента силы давления на боковую поверхность) показывает, что указанное в задаче неравенство действительно соответствует нахождению кубика в покое только при $\mu < 2/3$.
К стене бассейна плотно прижат (но не приклеен) кубик, полностью находящийся под водой и не касающийся дна. Между стенкой кубика и стеной бассейна вода не проникает, поэтому между ними действует сила сухого трения, коэффициент трения равен $\mu$. Уровень воды в бассейне начинают медленно понижать до тех пор, пока ее уровень не опустится до верхней грани кубика. При какой плотности кубика он будет оставаться в покое все это время? Плотность воды ро, считайте, что кубик может двигаться только поступательно.
Решение:
Пусть плотность кубика $\rho > \rho_{0}$. Тогда сумма сил тяжести и Архимеда, равная $g( \rho - \rho_{0})a^{3}$, стремится сместить кубик вниз. Этой силе противодействует сила сухого трения $\mu N$, где $N$ - сила нормальной реакции стенки, равная силе давления воды на боковую грань кубика. Очевидно, что эта сила уменьшается с уменьшением уровня воды, в то время как сила Архимеда при этом не меняется. Поэтому достаточно рассмотреть предельный случай, когда уровень воды находится вровень с верхней гранью кубика. Поскольку давление воды линейно зависит от глубины, то для вычисления силы можно использовать среднее давление воды $\rho ga/2$, тогда $N = \rho g a^{3} /2$, и условие равновесия принимает вид
$g( \rho - \rho_{0}) a^{3} \leq \mu \rho_{0} ga^{3}/2$, откуда $\rho \leq \rho_{0} ( 1 + \mu/2)$.
В случае $\rho < \rho_{0}$ абсолютно аналогичные вычисления приводят к результату $\rho > \rho_{0} (1 - \mu /2)$.
Ответ: $\rho_{0} (1 - \mu /2) \leq \rho \leq \rho_{0}(1 + \mu /2)$.
Комментарий: в действительности условие поступательного движения кубика выполняется не всегда. В случае очень легкого либо очень тяжелого кубика он начнет вращаться раньше, чем скользить вдоль стенки. Точный расчет (требующий вычисления интеграла вида $\int x^{2} dx$ для определения момента силы давления на боковую поверхность) показывает, что указанное в задаче неравенство действительно соответствует нахождению кубика в покое только при $\mu < 2/3$.
