Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2863
2017-04-16 
Нижняя часть цилиндрической пробирки с внутренним диаметром $d$ представляет собой полусферу с диаметром, равным диаметру пробирки. На столе вертикально стоят две таких пробирки, нижняя часть которых (полусфера) заполнена водой (см. рис.). В левую пробирку ставят кубик с длиной ребра $d/ \sqrt{2}$. При какой плотности материала кубика он всплывет, если всю воду из правой пробирки перелить в левую? Плотность воды $\rho_{0}$, при переливании на верхнюю грань кубика вода не попадает, трения между кубиком и стенками пробирки нет.
Решение:
Размеры кубика таковы, что его горизонтальные грани представляют собой квадраты, вписанные в окружность - горизонтальное сечение пробирки. Поэтому кубик касается стенок только своими боковыми рёбрами. Под действием силы тяжести кубик опустится до «низа» пробирки, то есть до места, где кончается цилиндрическая часть и начинается полусфера, и там остановится. Объём полусферы равен
$V_{S} = \frac{2}{3} \pi R_{S}^{2} = \frac{1}{12} \pi d^{3}$
До начала переливания кубик касается поверхности жидкости нижней гранью, и выталкивающая сила равна нулю.
Переливаемая жидкость начнёт заполнять пространство между кубиком и стенками пробирки. Пространство между стенками кубика и пробирки представляет собой четыре цилиндра, суммарная площадь основания которых определяется как разность площадей круга диаметром $d$ и основания кубика. Тогда объём залитой жидкости $V_{ц}$ связан с высотой уровня воды над дном кубика (глубиной погружения кубика) $h$ соотношением
$V = h \left ( \frac{ \pi d^{2}}{4} - \left ( \frac{d}{ \sqrt{2}} \right )^{2} \right ) = h \frac{h^{2}}{2} \left ( \frac{ \pi}{2} - 1 \right )$ (*)
Если из правой пробирки всю воду перелить в левую, то она поднимется до уровня, определяемого равенством объемов $V$ и $V_{S}: h = \frac{ \pi d}{3( \pi - 2)} \approx 0,92 d$. Поскольку высота ребра кубика $d/ \sqrt{2} \approx 0.71d$, то в результате вода полностью покроет кубик. В этом случае условие плавания принимает стандартный вид: плотность кубика должна быть не больше плотности жидкости.
Ответ: при плотности меньше $\rho_{0}$.
Нижняя часть цилиндрической пробирки с внутренним диаметром $d$ представляет собой полусферу с диаметром, равным диаметру пробирки. На столе вертикально стоят две таких пробирки, нижняя часть которых (полусфера) заполнена водой (см. рис.). В левую пробирку ставят кубик с длиной ребра $d/ \sqrt{2}$. При какой плотности материала кубика он всплывет, если всю воду из правой пробирки перелить в левую? Плотность воды $\rho_{0}$, при переливании на верхнюю грань кубика вода не попадает, трения между кубиком и стенками пробирки нет.
Решение:
Размеры кубика таковы, что его горизонтальные грани представляют собой квадраты, вписанные в окружность - горизонтальное сечение пробирки. Поэтому кубик касается стенок только своими боковыми рёбрами. Под действием силы тяжести кубик опустится до «низа» пробирки, то есть до места, где кончается цилиндрическая часть и начинается полусфера, и там остановится. Объём полусферы равен
$V_{S} = \frac{2}{3} \pi R_{S}^{2} = \frac{1}{12} \pi d^{3}$
До начала переливания кубик касается поверхности жидкости нижней гранью, и выталкивающая сила равна нулю.
Переливаемая жидкость начнёт заполнять пространство между кубиком и стенками пробирки. Пространство между стенками кубика и пробирки представляет собой четыре цилиндра, суммарная площадь основания которых определяется как разность площадей круга диаметром $d$ и основания кубика. Тогда объём залитой жидкости $V_{ц}$ связан с высотой уровня воды над дном кубика (глубиной погружения кубика) $h$ соотношением
$V = h \left ( \frac{ \pi d^{2}}{4} - \left ( \frac{d}{ \sqrt{2}} \right )^{2} \right ) = h \frac{h^{2}}{2} \left ( \frac{ \pi}{2} - 1 \right )$ (*)
Если из правой пробирки всю воду перелить в левую, то она поднимется до уровня, определяемого равенством объемов $V$ и $V_{S}: h = \frac{ \pi d}{3( \pi - 2)} \approx 0,92 d$. Поскольку высота ребра кубика $d/ \sqrt{2} \approx 0.71d$, то в результате вода полностью покроет кубик. В этом случае условие плавания принимает стандартный вид: плотность кубика должна быть не больше плотности жидкости.
Ответ: при плотности меньше $\rho_{0}$.
