Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2861
2017-04-16 
Над горизонтально расположенной плоской плитой висят - на разных высотах и не на одной вертикали - два одинаковых маленьких шарика. Шарики одновременно начинают свободно падать с нулевой начальной скоростью. После абсолютно упругого удара о плиту каждый шарик поднимается на прежнюю высоту и повторяет своё движение вдоль одной и той же траектории неограниченное число раз. Время между двумя последовательными ударами о плиту одного шарика в целое число $N$ раз больше, чем другого. Известно, что первый раз шарики оказались на одинаковой высоте через время $\tau$ после начала движения. Через какое минимальное время после этого они снова окажутся на одинаковой высоте? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Для определённости считаем, что 1-й шарик находится на меньшей высоте. Введём обозначения: $H_{1}, H_{2}$ - высота над плитой в начальный момент времени 1-го и 2-го шарика соответственно; $T_{1}, T_{2}$ - время от начала движения до первого удара о плиту («время падения») 1-го и 2-го шарика, соответственно. Будем далее называть "встречей" ситуацию, при которой оба шарика оказались на одной высоте.
Поскольку времена падений относятся как целые числа, то за время падения второго шарика первый успеет целое число раз пройти путь $H_{1}$. В зависимости от того, четным или нечетным является число $N$, в момент первого нахождения второго шарика на плите первый будет находиться либо на плите (при нечетном $N$, рис. а) либо в верхней точке своей траектории (при четном $N$, рис. б).
Случай а) рассматривается довольно просто. Из рисунка понятно, что в этом случае $\tau = T_{2}$, а следующая встреча шариков произойдет также в момент их нахождения на плите, который случится через время $2T_{2} = 2 \tau$.
В случае б) обозначим $T_{0}$ время, которое прошло между первой встречей шариков и изображенным на рис. моментом. Пусть встреча произошла на высоте $h$ над плитой. Тогда $g(T_{2} - T_{0})^{2} /2 = H_{2} - h$ и $gT_{0}^{2} / 2 = H_{1} - h$. Из этой системы несложно найти $T_{0}: T_{0} = \frac{T_{2}}{2} - \frac{H_{2} - H_{1}}{gT_{2}}$. Т.к. $H = gT^{2}/2$, то $T_{0} = \frac{T_{2}}{2} - \frac{T_{2}^{2} - T_{1}^{2}}{2T_{2}} = \frac{T_{1}^{2}}{2T_{2}} = \frac{T_{2}}{2N^{2}}$. Из симметрии движения следует, что от первой встречи до второй пройдет время $2T_{0} = \frac{T_{2}}{N^{2}}$. Осталось выразить $T_{2}$ через $\tau : \tau = T_{2} - T_{0} = T_{2} \frac{2N^{2} - 1}{2N^{2}}$. Тогда $2 T_{0} = \frac{ \tau}{2N^{2} - 1}$
Ответ: $2 \tau$ при нечетном $N, \frac{ \tau}{2N^{2} - 1}$ при четном $N$.
Над горизонтально расположенной плоской плитой висят - на разных высотах и не на одной вертикали - два одинаковых маленьких шарика. Шарики одновременно начинают свободно падать с нулевой начальной скоростью. После абсолютно упругого удара о плиту каждый шарик поднимается на прежнюю высоту и повторяет своё движение вдоль одной и той же траектории неограниченное число раз. Время между двумя последовательными ударами о плиту одного шарика в целое число $N$ раз больше, чем другого. Известно, что первый раз шарики оказались на одинаковой высоте через время $\tau$ после начала движения. Через какое минимальное время после этого они снова окажутся на одинаковой высоте? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Для определённости считаем, что 1-й шарик находится на меньшей высоте. Введём обозначения: $H_{1}, H_{2}$ - высота над плитой в начальный момент времени 1-го и 2-го шарика соответственно; $T_{1}, T_{2}$ - время от начала движения до первого удара о плиту («время падения») 1-го и 2-го шарика, соответственно. Будем далее называть "встречей" ситуацию, при которой оба шарика оказались на одной высоте.
Поскольку времена падений относятся как целые числа, то за время падения второго шарика первый успеет целое число раз пройти путь $H_{1}$. В зависимости от того, четным или нечетным является число $N$, в момент первого нахождения второго шарика на плите первый будет находиться либо на плите (при нечетном $N$, рис. а) либо в верхней точке своей траектории (при четном $N$, рис. б).
Случай а) рассматривается довольно просто. Из рисунка понятно, что в этом случае $\tau = T_{2}$, а следующая встреча шариков произойдет также в момент их нахождения на плите, который случится через время $2T_{2} = 2 \tau$.
В случае б) обозначим $T_{0}$ время, которое прошло между первой встречей шариков и изображенным на рис. моментом. Пусть встреча произошла на высоте $h$ над плитой. Тогда $g(T_{2} - T_{0})^{2} /2 = H_{2} - h$ и $gT_{0}^{2} / 2 = H_{1} - h$. Из этой системы несложно найти $T_{0}: T_{0} = \frac{T_{2}}{2} - \frac{H_{2} - H_{1}}{gT_{2}}$. Т.к. $H = gT^{2}/2$, то $T_{0} = \frac{T_{2}}{2} - \frac{T_{2}^{2} - T_{1}^{2}}{2T_{2}} = \frac{T_{1}^{2}}{2T_{2}} = \frac{T_{2}}{2N^{2}}$. Из симметрии движения следует, что от первой встречи до второй пройдет время $2T_{0} = \frac{T_{2}}{N^{2}}$. Осталось выразить $T_{2}$ через $\tau : \tau = T_{2} - T_{0} = T_{2} \frac{2N^{2} - 1}{2N^{2}}$. Тогда $2 T_{0} = \frac{ \tau}{2N^{2} - 1}$
Ответ: $2 \tau$ при нечетном $N, \frac{ \tau}{2N^{2} - 1}$ при четном $N$.
