Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2858
2017-04-16 
Две порции идеального газа по 1 молю каждая, находившиеся при температуре $427^{ \circ} С$, нагрели до вдвое большей температуры, причем на $pV$ - диаграмме оба процесса изображаются отрезками прямых, а конечное значение объема в первом процессе больше, чем во втором (рис.). В каком из процессов газу сообщили большее количество теплоты? Вычислите, на сколько будут отличаться сообщенные газу количества теплоты в частном случае, когда один из процессов изохорный, а в другом объем увеличивается в два раза.
Решение:
По первому началу термодинамики сообщенное газу количество теплоты расходуется на изменение его внутренней энергии и совершение работы. Поскольку внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры, то ее изменение одинаково в обоих процессах. Работу газа в процессе можно определить как площадь под графиком процесса.
Работа газа $A_{1,2} = (V_{1,2} - V_{0})(p_{1,2} + p_{0})/2$. Поскольку конечные точки процессов лежат на изотерме с температурой, в два раза большей начальной, то $p_{1,2} = 2p_{0}V_{0} /V_{1,2}$. Тогда $A_{1,2} = p_{0}(V_{1,2} - 2V_{0}^{2}/V_{1,2})/2$, и разность работ в двух процессах пропорциональна величине $\Delta = V_{1} - V_{2} + 2V_{0}^{2} (1/V_{2} - 1/V_{1})$. Поскольку $V_{1} > V_{2}$, то оба слагаемых в этой сумме положительны, и работа в первом процессе больше.
Можно доказать это и другим способом. На графике р-V ограничим данный процесс двумя адиабатами - графиками процесса, происходящего над фиксированным количеством вещества без передачи количества теплоты, с нулевой теплоёмкостью (см. рис.). Для данного количества газа, любые процессы перехода от адиабаты в левую часть пространства р-V осуществляются с меньшей теплоемкостью относительно данной адиабаты, а вправо - с большей. Иными словами, адиабаты, ограничивающие точки двух состояний определяют канал поступления теплоты для любых процессов между ними. Теперь видно, что осуществление процесса 1 требует большего количества теплоты $(Q + \Delta Q)$, чем процесс 2, требующий количества теплоты $Q$, поскольку пересекает граничную адиабату процесса слева направо - в область с большей относительно точки пересечения теплоемкостью - значит, с дополнительным количеством теплоты $\Delta Q$.
Несложно сообразить, что в указанном частном случае первый процесс изобарный, поскольку в нем температура и объем увеличиваются в одно и то же число раз. Тогда работа в нем $A = \Delta Q = p_{0} \cdot (V_{2} - V_{1}) = \frac{3}{2} \nu RT_{0} \approx 10 кДж$. Поскольку в изохорном процессе работа равна нулю, это и есть искомая разность количеств теплоты
Ответ: в первом, на 10 кДж.
Две порции идеального газа по 1 молю каждая, находившиеся при температуре $427^{ \circ} С$, нагрели до вдвое большей температуры, причем на $pV$ - диаграмме оба процесса изображаются отрезками прямых, а конечное значение объема в первом процессе больше, чем во втором (рис.). В каком из процессов газу сообщили большее количество теплоты? Вычислите, на сколько будут отличаться сообщенные газу количества теплоты в частном случае, когда один из процессов изохорный, а в другом объем увеличивается в два раза.
Решение:
По первому началу термодинамики сообщенное газу количество теплоты расходуется на изменение его внутренней энергии и совершение работы. Поскольку внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры, то ее изменение одинаково в обоих процессах. Работу газа в процессе можно определить как площадь под графиком процесса.
Работа газа $A_{1,2} = (V_{1,2} - V_{0})(p_{1,2} + p_{0})/2$. Поскольку конечные точки процессов лежат на изотерме с температурой, в два раза большей начальной, то $p_{1,2} = 2p_{0}V_{0} /V_{1,2}$. Тогда $A_{1,2} = p_{0}(V_{1,2} - 2V_{0}^{2}/V_{1,2})/2$, и разность работ в двух процессах пропорциональна величине $\Delta = V_{1} - V_{2} + 2V_{0}^{2} (1/V_{2} - 1/V_{1})$. Поскольку $V_{1} > V_{2}$, то оба слагаемых в этой сумме положительны, и работа в первом процессе больше.
Можно доказать это и другим способом. На графике р-V ограничим данный процесс двумя адиабатами - графиками процесса, происходящего над фиксированным количеством вещества без передачи количества теплоты, с нулевой теплоёмкостью (см. рис.). Для данного количества газа, любые процессы перехода от адиабаты в левую часть пространства р-V осуществляются с меньшей теплоемкостью относительно данной адиабаты, а вправо - с большей. Иными словами, адиабаты, ограничивающие точки двух состояний определяют канал поступления теплоты для любых процессов между ними. Теперь видно, что осуществление процесса 1 требует большего количества теплоты $(Q + \Delta Q)$, чем процесс 2, требующий количества теплоты $Q$, поскольку пересекает граничную адиабату процесса слева направо - в область с большей относительно точки пересечения теплоемкостью - значит, с дополнительным количеством теплоты $\Delta Q$.
Несложно сообразить, что в указанном частном случае первый процесс изобарный, поскольку в нем температура и объем увеличиваются в одно и то же число раз. Тогда работа в нем $A = \Delta Q = p_{0} \cdot (V_{2} - V_{1}) = \frac{3}{2} \nu RT_{0} \approx 10 кДж$. Поскольку в изохорном процессе работа равна нулю, это и есть искомая разность количеств теплоты
Ответ: в первом, на 10 кДж.
