Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2856
2017-04-16 
Пилот НЛО, имеющего форму шара, проводит летные испытания своего аппарата в земной атмосфере. Согласно полученной инструкции, он установил постоянное значение модуля силы тяги двигателя и меняет угол а, который вектор тяги составляет с вертикалью, в пределах от $0^{ \circ}$ до $180^{ \circ}$ (при $\alpha = 0$ вектор силы тяги направлен вверх). При каждом значении а он дожидается установления постоянной скорости движения и заносит ее значение в бортовой журнал. Известно, что сила сопротивления воздуха пропорциональна величине $v(1 + v/v_{0})$, где $v$ - текущее значение скорости, а $v_{0}$ - известная константа. Максимальное и минимальное значения скорости, записанные в журнале, равны $2v_{0}$ и $v_{0}$ соответственно. Определите, при каком $\alpha$ НЛО движется горизонтально и какова в этом случае его скорость. Ускорение свободного падения $g$, ветра нет, работа двигателя не влияет на аэродинамические качества НЛО.
Решение:
Введём обозначения:
Минимальная и максимальная скорости - $v_{min} = v_{0}$ и $v_{max} = 2v_{0}$, соответственно;
Модуль силы сопротивления воздуха $F_{с} = | \vec{F}_{с}| = \gamma v (1 + v/v_{0})$, где $\gamma$ - (неизвестный) постоянный коэффициент;
$f = v (1 + v/v_{0}), f_{min} = v_{min} (1 + v_{min}/v_{0}), f_{max} = v_{max} (1 + v_{max} / v_{0})$.
Условие постоянства скорости:
$\vec{F}_{с} + m \vec{g} + \vec{F}_{с} = 0$. (1)
Очевидно, что максимальная скорость достигается, когда $\vec{F}_{т}$ и $\vec{g}$ параллельны, а минимальная - когда антипараллельны, то есть как раз при $\alpha = 180^{ \circ}$ и $\alpha = 0^{ \circ}$, соответственно. Тогда векторное равенство (1) можно записать в следующем виде:
$\begin{cases} \gamma f_{max} = F_{т} + mg \\ \gamma f_{min} = F_{т} - mg \end{cases}$, (2)
Решая систему, получаем
$\begin{cases} F_{т} = \frac{ \gamma}{2} (f_{max} + f_{min}) \\ mg = \frac{ \gamma}{2} (f_{max} - f_{min}) \end{cases}$.
В общем случае для вертикальной и горизонтальной составляющих выражения (1) имеем:
$\begin{cases} \gamma f \cdot \cos \phi = F_{т} \cos \alpha - mg \\ \gamma f \sin \phi = F_{т} \sin \alpha \end{cases}$.
где $\phi$ - угол наклона вектора силы сопротивления к вертикали (см. рис.). Из этой системы уравнений можно найти величину и направление вектора установившейся скорости движения НЛО при произвольном значении $\alpha$. При горизонтальном полёте ($\phi = 90^{ \circ}$)
$\begin{cases} 0 = F_{т} \cos \alpha_{гор} - mg \\ \gamma f_{гор} = F_{т} \sin \alpha_{гор} \end{cases}$, (3)
откуда
$\begin{cases} \cos \alpha_{гор} = \frac{mg}{F_{т}} \\ \gamma f_{гор} = F_{т} \sin \alpha_{гор} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \cos \alpha_{гор} = \frac{f_{max} - f_{min}}{f_{max} + f_{min}} \\ \gamma f_{гор} = \gamma \frac{f_{max} + f_{min}}{2} \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha_{гор}} \end{cases}$,
$\begin{cases} \cos \alpha_{гор} = \frac{v_{max} (1 + v_{max}/v_{0}) - v_{min}(1 + v_{min}/v_{0})}{v_{max}(1 + v_{max}/v_{0}) + v_{min}(1 + v_{min}/v_{0})} \\ f_{гор} = \frac{f_{max} + f_{min}}{2} \sqrt{ 1 - \left ( \frac{f_{max} - f_{min}}{f_{max} + f_{min}} \right )^{2} } \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \cos \alpha_{гор} = \frac{v_{max}/v_{min} (1 + v_{max}/v_{0}) - (1 + v_{min}/v_{0})}{v_{max}/v_{min}(1 + v_{max}/v_{0}) + (1 + v_{min}/v_{0})} \\ f_{гор} = \sqrt{ \frac{(f_{max} + f_{min})^{2} - (f_{max} - f_{min})^{2}}{4} } \end{cases}$,
Окончательно
$\begin{cases} \cos \alpha_{гор} = \frac{v_{max}/v_{min} (1 + v_{max}/v_{0}) - (1 + v_{min}/v_{0})}{v_{max}/v_{min}(1 + v_{max}/v_{0}) + (1 + v_{min}/v_{0})} \\ f_{гор} = \sqrt{ f_{max} \cdot f_{min} } \end{cases}$,
Таким образом, при произвольных значениях минимальной и максимальной скоростей искомые угол наклона и скорость можно определить независимо. Подставляя значения $v_{min}$ и $v_{max}$ в первое равенство, находим
$\cos \alpha_{гор} = \frac{1}{2} \rightarrow \alpha_{гор} = 60^{ \circ}$.
Расписав второе равенство, получаем
$v_{гор} (1 + v_{гор}/v_{0}) = \sqrt{v_{max} v_{min} (1 + v_{max}/v_{0}) (1 + v_{min}/v_{0})}$,
откуда для скорости горизонтального полёта получаем квадратное уравнение
$v_{гор}^{2}/v_{0} + v_{гор} - \sqrt{v_{max} v_{min} (1 + v_{max}/v_{0}) (1 + v_{min}/v_{0})} = 0$,
решение которого записывается как
$v_{гор1,2} = \frac{-v_{0} \pm \sqrt{ v_{0}^{2} + 4v_{0} \sqrt{v_{max} v_{min} (1 + v_{max}/v_{0}) (1 + v_{min}/v_{0})} }}{2}$
Физический смысл имеет только решение со знаком «+» перед корнем:
$v_{гор} = \frac{ \sqrt{1 + 4 \sqrt{v_{max}/v_{0} \cdot v_{min}/v_{0} (1 + v_{max}/v_{0}) (1 + v_{min}/v_{0})} } - 1}{2} v_{0}$.
Подставляя значения $v_{min}$ и $v_{max}$, получаем
$v_{гор} = \frac{ \sqrt{1 + 8 \sqrt{3}} - 1}{2} v_{0} \approx 1,43 v_{0}$
Ответ: при $\alpha = 60^{ \circ}$, со скоростью $1,43 v_{0}$.
Пилот НЛО, имеющего форму шара, проводит летные испытания своего аппарата в земной атмосфере. Согласно полученной инструкции, он установил постоянное значение модуля силы тяги двигателя и меняет угол а, который вектор тяги составляет с вертикалью, в пределах от $0^{ \circ}$ до $180^{ \circ}$ (при $\alpha = 0$ вектор силы тяги направлен вверх). При каждом значении а он дожидается установления постоянной скорости движения и заносит ее значение в бортовой журнал. Известно, что сила сопротивления воздуха пропорциональна величине $v(1 + v/v_{0})$, где $v$ - текущее значение скорости, а $v_{0}$ - известная константа. Максимальное и минимальное значения скорости, записанные в журнале, равны $2v_{0}$ и $v_{0}$ соответственно. Определите, при каком $\alpha$ НЛО движется горизонтально и какова в этом случае его скорость. Ускорение свободного падения $g$, ветра нет, работа двигателя не влияет на аэродинамические качества НЛО.
Решение:
Введём обозначения:
Минимальная и максимальная скорости - $v_{min} = v_{0}$ и $v_{max} = 2v_{0}$, соответственно;
Модуль силы сопротивления воздуха $F_{с} = | \vec{F}_{с}| = \gamma v (1 + v/v_{0})$, где $\gamma$ - (неизвестный) постоянный коэффициент;
$f = v (1 + v/v_{0}), f_{min} = v_{min} (1 + v_{min}/v_{0}), f_{max} = v_{max} (1 + v_{max} / v_{0})$.
Условие постоянства скорости:
$\vec{F}_{с} + m \vec{g} + \vec{F}_{с} = 0$. (1)
Очевидно, что максимальная скорость достигается, когда $\vec{F}_{т}$ и $\vec{g}$ параллельны, а минимальная - когда антипараллельны, то есть как раз при $\alpha = 180^{ \circ}$ и $\alpha = 0^{ \circ}$, соответственно. Тогда векторное равенство (1) можно записать в следующем виде:
$\begin{cases} \gamma f_{max} = F_{т} + mg \\ \gamma f_{min} = F_{т} - mg \end{cases}$, (2)
Решая систему, получаем
$\begin{cases} F_{т} = \frac{ \gamma}{2} (f_{max} + f_{min}) \\ mg = \frac{ \gamma}{2} (f_{max} - f_{min}) \end{cases}$.
В общем случае для вертикальной и горизонтальной составляющих выражения (1) имеем:
$\begin{cases} \gamma f \cdot \cos \phi = F_{т} \cos \alpha - mg \\ \gamma f \sin \phi = F_{т} \sin \alpha \end{cases}$.
где $\phi$ - угол наклона вектора силы сопротивления к вертикали (см. рис.). Из этой системы уравнений можно найти величину и направление вектора установившейся скорости движения НЛО при произвольном значении $\alpha$. При горизонтальном полёте ($\phi = 90^{ \circ}$)
$\begin{cases} 0 = F_{т} \cos \alpha_{гор} - mg \\ \gamma f_{гор} = F_{т} \sin \alpha_{гор} \end{cases}$, (3)
откуда
$\begin{cases} \cos \alpha_{гор} = \frac{mg}{F_{т}} \\ \gamma f_{гор} = F_{т} \sin \alpha_{гор} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \cos \alpha_{гор} = \frac{f_{max} - f_{min}}{f_{max} + f_{min}} \\ \gamma f_{гор} = \gamma \frac{f_{max} + f_{min}}{2} \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha_{гор}} \end{cases}$,
$\begin{cases} \cos \alpha_{гор} = \frac{v_{max} (1 + v_{max}/v_{0}) - v_{min}(1 + v_{min}/v_{0})}{v_{max}(1 + v_{max}/v_{0}) + v_{min}(1 + v_{min}/v_{0})} \\ f_{гор} = \frac{f_{max} + f_{min}}{2} \sqrt{ 1 - \left ( \frac{f_{max} - f_{min}}{f_{max} + f_{min}} \right )^{2} } \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \cos \alpha_{гор} = \frac{v_{max}/v_{min} (1 + v_{max}/v_{0}) - (1 + v_{min}/v_{0})}{v_{max}/v_{min}(1 + v_{max}/v_{0}) + (1 + v_{min}/v_{0})} \\ f_{гор} = \sqrt{ \frac{(f_{max} + f_{min})^{2} - (f_{max} - f_{min})^{2}}{4} } \end{cases}$,
Окончательно
$\begin{cases} \cos \alpha_{гор} = \frac{v_{max}/v_{min} (1 + v_{max}/v_{0}) - (1 + v_{min}/v_{0})}{v_{max}/v_{min}(1 + v_{max}/v_{0}) + (1 + v_{min}/v_{0})} \\ f_{гор} = \sqrt{ f_{max} \cdot f_{min} } \end{cases}$,
Таким образом, при произвольных значениях минимальной и максимальной скоростей искомые угол наклона и скорость можно определить независимо. Подставляя значения $v_{min}$ и $v_{max}$ в первое равенство, находим
$\cos \alpha_{гор} = \frac{1}{2} \rightarrow \alpha_{гор} = 60^{ \circ}$.
Расписав второе равенство, получаем
$v_{гор} (1 + v_{гор}/v_{0}) = \sqrt{v_{max} v_{min} (1 + v_{max}/v_{0}) (1 + v_{min}/v_{0})}$,
откуда для скорости горизонтального полёта получаем квадратное уравнение
$v_{гор}^{2}/v_{0} + v_{гор} - \sqrt{v_{max} v_{min} (1 + v_{max}/v_{0}) (1 + v_{min}/v_{0})} = 0$,
решение которого записывается как
$v_{гор1,2} = \frac{-v_{0} \pm \sqrt{ v_{0}^{2} + 4v_{0} \sqrt{v_{max} v_{min} (1 + v_{max}/v_{0}) (1 + v_{min}/v_{0})} }}{2}$
Физический смысл имеет только решение со знаком «+» перед корнем:
$v_{гор} = \frac{ \sqrt{1 + 4 \sqrt{v_{max}/v_{0} \cdot v_{min}/v_{0} (1 + v_{max}/v_{0}) (1 + v_{min}/v_{0})} } - 1}{2} v_{0}$.
Подставляя значения $v_{min}$ и $v_{max}$, получаем
$v_{гор} = \frac{ \sqrt{1 + 8 \sqrt{3}} - 1}{2} v_{0} \approx 1,43 v_{0}$
Ответ: при $\alpha = 60^{ \circ}$, со скоростью $1,43 v_{0}$.
