Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2855
2017-04-16 
Помещение для хранения очень секретных материалов имеет в плане вид, показанный на рис. (размеры указаны в метрах). Технику была выдана 1 (одна) веб-камера и поручено организовать круглосуточное видеонаблюдение за всей площадью комнаты. Оценив ситуацию, техник 10 понял, что выполнить полученное задание не сможет. Определите наименьшую суммарную площадь участков комнаты, которые технику не удастся охватить видеонаблюдением. Поскольку добиться выделения второй веб-камеры техник не смог, он решил укрепить на одной из стен плоское зеркало. При какой минимальной ширине этого зеркала технику удастся выполнить задание?
Решение:
Получим сначала ответ на первый вопрос задачи. Довольно очевидно, что камеру необходимо устанавливать на стене АВ (см. рис.). Действительно, при установке камеры в любой точке на стене АD луч, проведенный из нее в т. Н, отсечет на стене ВС больший отрезок, чем при установке в т.А. Также понятно, что при приближении камеры по стене АВ к т. К "мертвая зона" уменьшается.
При установке же камеры в любой точке отрезка КМ "мертвая зона" (заштрихована на рис.) имеет равную площадь. Действительно, треугольник NGO равен треугольнику GPE, а треугольник NOH - треугольнику HFQ, поэтому суммарная площадь "мертвой зоны" есть $0,5 \cdot NO \cdot GH = 4 м^{2}$.
Рассмотрим теперь вторую часть задачи. Поскольку зеркало только одно, то нам придется установить камеру так, чтобы одна половина комнаты наблюдалась непосредственно камерой, т.е. на отрезке АК; при этом зеркало должно висеть на стене ВС.
Пусть камера находится в т. S на расстоянии х от т. К, а ее $S^{ \prime}$ - изображение в зеркале. Из рис. видно, что в этом случае зеркало должно занимать отрезок ТR. Подсчитаем суммарную длину ВТ + RС отрезков стены, не покрываемых зеркалом.
Из подобия треугольников $HNS^{ \prime}$ и $TBS^{ \prime} ~ BT = 4 \frac{6+x}{10+x}$, и из равенства треугольников $SMN$ и $QFH ~ FQ = MD = 2 + x$, тогда из подобия треугольников QRC и $QS^{ \prime}V$ получим $RC = QC = 2 - x$. Тогда $BT + RC = 4 \frac{6+x}{10+x} + 2 - x = \frac{44 - 4x - x^{2}}{10 + x}$.
Необходимо подобрать такое $x$, чтобы полученное выражение было максимально. Очевидно, что его числитель с увеличением $x$ убывает, а знаменатель возрастает, поэтому вся дробь убывает, и ее максимальное значение достигается при $x = 0$. Оно равно 4,4 м, значит, минимальный размер зеркала 8 - 4,4 = 3,6 м.
Ответ: $4 м^{2}, 3,6 м$.
Помещение для хранения очень секретных материалов имеет в плане вид, показанный на рис. (размеры указаны в метрах). Технику была выдана 1 (одна) веб-камера и поручено организовать круглосуточное видеонаблюдение за всей площадью комнаты. Оценив ситуацию, техник 10 понял, что выполнить полученное задание не сможет. Определите наименьшую суммарную площадь участков комнаты, которые технику не удастся охватить видеонаблюдением. Поскольку добиться выделения второй веб-камеры техник не смог, он решил укрепить на одной из стен плоское зеркало. При какой минимальной ширине этого зеркала технику удастся выполнить задание?
Решение:
Получим сначала ответ на первый вопрос задачи. Довольно очевидно, что камеру необходимо устанавливать на стене АВ (см. рис.). Действительно, при установке камеры в любой точке на стене АD луч, проведенный из нее в т. Н, отсечет на стене ВС больший отрезок, чем при установке в т.А. Также понятно, что при приближении камеры по стене АВ к т. К "мертвая зона" уменьшается.
При установке же камеры в любой точке отрезка КМ "мертвая зона" (заштрихована на рис.) имеет равную площадь. Действительно, треугольник NGO равен треугольнику GPE, а треугольник NOH - треугольнику HFQ, поэтому суммарная площадь "мертвой зоны" есть $0,5 \cdot NO \cdot GH = 4 м^{2}$.
Рассмотрим теперь вторую часть задачи. Поскольку зеркало только одно, то нам придется установить камеру так, чтобы одна половина комнаты наблюдалась непосредственно камерой, т.е. на отрезке АК; при этом зеркало должно висеть на стене ВС.
Пусть камера находится в т. S на расстоянии х от т. К, а ее $S^{ \prime}$ - изображение в зеркале. Из рис. видно, что в этом случае зеркало должно занимать отрезок ТR. Подсчитаем суммарную длину ВТ + RС отрезков стены, не покрываемых зеркалом.
Из подобия треугольников $HNS^{ \prime}$ и $TBS^{ \prime} ~ BT = 4 \frac{6+x}{10+x}$, и из равенства треугольников $SMN$ и $QFH ~ FQ = MD = 2 + x$, тогда из подобия треугольников QRC и $QS^{ \prime}V$ получим $RC = QC = 2 - x$. Тогда $BT + RC = 4 \frac{6+x}{10+x} + 2 - x = \frac{44 - 4x - x^{2}}{10 + x}$.
Необходимо подобрать такое $x$, чтобы полученное выражение было максимально. Очевидно, что его числитель с увеличением $x$ убывает, а знаменатель возрастает, поэтому вся дробь убывает, и ее максимальное значение достигается при $x = 0$. Оно равно 4,4 м, значит, минимальный размер зеркала 8 - 4,4 = 3,6 м.
Ответ: $4 м^{2}, 3,6 м$.
