Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2852
2017-04-16 
На гладкую горизонтальную бесконечно длинную спицу нанизаны три одинаковые бусинки, не соприкасающиеся друг с другом. Сначала бусинки покоятся, затем крайней левой щелчком сообщают некоторую скорость, направленную вправо. Удары бусинок друг о друга являются частично упругими. Известно, что при частично упругом ударе двух тел равной массы их скорости после удара $\vec{u}_{1,2}$ выражаются через скорости до удара $\vec{v}_{1,2}$ следующим образом:
$\vec{u}_{1} = \frac{1}{2} [(1 - k) \vec{v}_{1} + (1 + k) \vec{v}_{2} ], \vec{u}_{2} = \frac{1}{2} [(1 + k) \vec{v}_{1} + (1 - k) \vec{v}_{2} ]$, где $k$ - известная постоянная величина, называемая коэффициентом восстановления ($0 < k < 1$).
Определите минимально возможное число соударений между бусинками за все время движения, а также значения к, при которых оно достигается.
Решение:
Поскольку вначале бусинки не соприкасаются, а при столкновении пара бусинок приобретает разные скорости, одновременно все три столкнуться не могут. Следовательно, после каждого столкновения имеется распределение скоростей, которое не изменится до следующего столкновения другой пары бусинок, если таковое возможно.
Пронумеруем бусинки: «левая» - 1, «средняя» - 2, «правая» - 3. Применив формулы из условия к проекциям скоростей на спицы (положительным будем считать направление "слева направо"), и обозначая $v_{0}$ скорость, сообщенную первой бусинке, найдем, что после первого удара (первой бусинки о вторую) первая бусинка будет иметь скорость $\frac{1-k}{2} v_{0}$, а вторая $\frac{1+k}{2} v_{0}$. После удара второй бусинки о третью вторая будет иметь скорость $\frac{1-k^{2}}{4} v_{0}$, а третья - $\frac{(1+k)^{2}}{4} v_{0}$. Это больше, чем скорость второй бусинки. Однако при $0 < k < 2 ~ \frac{1-k}{2}$ - больше, чем $\frac{1-k^{2}}{4} = \frac{1-k}{2} \frac{1+k}{2}$, поэтому после двух ударов скорость первой бусинки всегда будет больше скорости второй, и обязательно произойдет их удар - третий по счету.
После этого удара скорость первой бусинки будет равна $\frac{(1-k)(3 + k^{2})}{8} v_{0}$, а второй - $\frac{(3-k)(1 - k^{2})}{8} v_{0}$. Для того, чтобы больше ударов не было, скорость второй бусинки должна оказаться больше скорости первой, но меньше скорости третьей, т.е. должны выполняться соотношения $(1 - k)(3 + k^{2}) < (3 - k)(1 - k^{2})$ и $(3-k)(1 - k^{2}) < 2 (1+k)^{2}$. Первое условие выполняется автоматически (т.к. два тела могут столкнуться только один раз), а второе сводится к неравенству $k^{2} - 6k + 1 < 0$. Решая его и учитывая заданное в условии ограничение $0 < k < 1$, получаем, что четвертого удара не будет при $3 - 2 \sqrt{2} < k < 1$.
Заметим, что при абсолютно упругом ($k=1$) и абсолютно неупругом ($k=0$) ударах произойдет только два удара, поскольку в первом случае скорости первой и второй бусинок после второго удара будут равны нулю, а во втором скорости бусинок после удара будут совпадать.
Ответ: три удара, при $3 - 2 \sqrt{2} < k < 1$.
На гладкую горизонтальную бесконечно длинную спицу нанизаны три одинаковые бусинки, не соприкасающиеся друг с другом. Сначала бусинки покоятся, затем крайней левой щелчком сообщают некоторую скорость, направленную вправо. Удары бусинок друг о друга являются частично упругими. Известно, что при частично упругом ударе двух тел равной массы их скорости после удара $\vec{u}_{1,2}$ выражаются через скорости до удара $\vec{v}_{1,2}$ следующим образом:
$\vec{u}_{1} = \frac{1}{2} [(1 - k) \vec{v}_{1} + (1 + k) \vec{v}_{2} ], \vec{u}_{2} = \frac{1}{2} [(1 + k) \vec{v}_{1} + (1 - k) \vec{v}_{2} ]$, где $k$ - известная постоянная величина, называемая коэффициентом восстановления ($0 < k < 1$).
Определите минимально возможное число соударений между бусинками за все время движения, а также значения к, при которых оно достигается.
Решение:
Поскольку вначале бусинки не соприкасаются, а при столкновении пара бусинок приобретает разные скорости, одновременно все три столкнуться не могут. Следовательно, после каждого столкновения имеется распределение скоростей, которое не изменится до следующего столкновения другой пары бусинок, если таковое возможно.
Пронумеруем бусинки: «левая» - 1, «средняя» - 2, «правая» - 3. Применив формулы из условия к проекциям скоростей на спицы (положительным будем считать направление "слева направо"), и обозначая $v_{0}$ скорость, сообщенную первой бусинке, найдем, что после первого удара (первой бусинки о вторую) первая бусинка будет иметь скорость $\frac{1-k}{2} v_{0}$, а вторая $\frac{1+k}{2} v_{0}$. После удара второй бусинки о третью вторая будет иметь скорость $\frac{1-k^{2}}{4} v_{0}$, а третья - $\frac{(1+k)^{2}}{4} v_{0}$. Это больше, чем скорость второй бусинки. Однако при $0 < k < 2 ~ \frac{1-k}{2}$ - больше, чем $\frac{1-k^{2}}{4} = \frac{1-k}{2} \frac{1+k}{2}$, поэтому после двух ударов скорость первой бусинки всегда будет больше скорости второй, и обязательно произойдет их удар - третий по счету.
После этого удара скорость первой бусинки будет равна $\frac{(1-k)(3 + k^{2})}{8} v_{0}$, а второй - $\frac{(3-k)(1 - k^{2})}{8} v_{0}$. Для того, чтобы больше ударов не было, скорость второй бусинки должна оказаться больше скорости первой, но меньше скорости третьей, т.е. должны выполняться соотношения $(1 - k)(3 + k^{2}) < (3 - k)(1 - k^{2})$ и $(3-k)(1 - k^{2}) < 2 (1+k)^{2}$. Первое условие выполняется автоматически (т.к. два тела могут столкнуться только один раз), а второе сводится к неравенству $k^{2} - 6k + 1 < 0$. Решая его и учитывая заданное в условии ограничение $0 < k < 1$, получаем, что четвертого удара не будет при $3 - 2 \sqrt{2} < k < 1$.
Заметим, что при абсолютно упругом ($k=1$) и абсолютно неупругом ($k=0$) ударах произойдет только два удара, поскольку в первом случае скорости первой и второй бусинок после второго удара будут равны нулю, а во втором скорости бусинок после удара будут совпадать.
Ответ: три удара, при $3 - 2 \sqrt{2} < k < 1$.
