Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2846
2017-04-16 
Шарик диаметра $d$ движется в стоящей на столе открытой сверху тонкостенной кубической емкости с длиной ребра $l$. Скоростная камера производит снимки через равные промежутки времени. Стенки емкости непрозрачны, за исключением полосы ширины $d$ в верхней части. К стенам и дну емкости присоединены датчики, а на передней грани помещен световой индикатор из трех полосок, каждая их которых загорается на очень короткое время в момент удара шарика о соответствующую стенку или дно. На рис. приведены четыре последовательных снимка, сделанных камерой, пятый снимок совпадает с первым, в дальнейшем последовательность повторяется. На снимке 1 центр шарика расположен строго в центре полосы.
Определите время между двумя последовательными снимками, высоты, на которых шарик ударяется о стенки, а также величину скорости шарика непосредственно перед моментами съемки.
Ускорение свободного падения $g$, удары абсолютно упругие, время ударов очень мало, сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
На рис. изображены положения шарика (слева) и его центра (справа) в моменты времени, соответствующие снимкам. Обратим внимание, что центр шарика движется в квадрате со стороной $l^{ \prime} = l - d$, и далее, говоря о движении шарика в емкости, будем иметь в виду именно движение его центра в этом квадрате.
В поле силы тяжести в отсутствие сопротивления воздуха шарик будет двигаться по параболе. Поскольку удары о стенки емкости абсолютно упругие, то при них перпендикулярная соответствующей стенке компонента меняет направление, а параллельная - сохраняется. Поскольку удары еще и мгновенные, то, отразив участок траектории шарика между 2 и 3 снимком относительно левой стенки, а между 3 и 4 снимком - относительно правой стенки, мы получим, что участки 1-2-3 и 3-4-1 являются частями параболы (рис.). При движении в поле силы тяжести горизонтальная компонента скорости сохраняется, поэтому на участках 1-2 и 2-3 шарик проходит равные пути по горизонтали. А т.к. на участке 1-2 шарик проходит половину стороны квадрата, то т. 3 расположена строго посередине дна емкости.
Тогда участки 1-2-3 и 3-4-1 симметричны относительно средней линии емкости. Из условия следует, что движение повторяется, т.е. оказавшись вновь в т. 1, шарик продолжит двигаться по траектории 1-2-3, т.е. 3-4-1-2-3 - одна траектория. Поскольку т.1. лежит на ее оси симметрии, она является вершиной параболы, и скорость в ней направлена горизонтально.
Далее уже не очень сложно найти все необходимые величины. Поскольку движение из 1 в 3 представляет собой свободное падение с нулевой вертикальной скоростью, а при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью расстояния, проходимые за последовательные равные интервалы времени, относятся как последовательные нечетные числа, то расстояние по вертикали между точками 1 и 2 в 3 раза меньше, чем между точками 2 и 3, следовательно, т. 2 находится на высоте $3l^{ \prime}/4$ от нижней стороны квадрата, или на высоте $3l^{ \prime} /4 + d/2 = (3l - d)/4$ от дна емкости. На этой же высоте находится и т. 4.
Поскольку участок 1-3 шарик проходит за время $2 \tau$ ($\tau$ - интервал времени между снимками), то $\tau = \sqrt{ \frac{l^{ \prime}}{2g}} = \sqrt{ \frac{l-d}{2g}}$. Найдем теперь скорости шарика перед моментами съемки (говорить о скорости в моменты 2, 3, 4 некорректно, поскольку в момент удара скорость не определена). Горизонтальная компонента скорости шарика постоянна и может быть определена из соотношения $v_{гор} = \frac{l-d}{2 \tau} = \sqrt{ \frac{g(l-d)}{2}}$, это и есть скорость в положении 1.
Вертикальная компонента скорости шарика в т. 2 и 4 равна $g \tau$, а в т. 3 - $2 g \tau$. Тогда модули скорости определяются по теореме Пифагора и будут равны в положениях 2 и 4 $\sqrt{ g(l-d)}$, а в положении 3 $\sqrt{ \frac{5g(l-d)}{2}}$.
Ответ: время между снимками $\sqrt{ \frac{(l-d)}{2g}}$, высота на снимках 2 и 4 $\frac{3l - d}{4}$, скорости в положении 1 $\sqrt{ \frac{g(l-d)}{2}}$, в положениях 2 и 4 . $\sqrt{g(l-d)}$, в положении 3 $\sqrt{ \frac{5g(l-d)}{2}}$.
Шарик диаметра $d$ движется в стоящей на столе открытой сверху тонкостенной кубической емкости с длиной ребра $l$. Скоростная камера производит снимки через равные промежутки времени. Стенки емкости непрозрачны, за исключением полосы ширины $d$ в верхней части. К стенам и дну емкости присоединены датчики, а на передней грани помещен световой индикатор из трех полосок, каждая их которых загорается на очень короткое время в момент удара шарика о соответствующую стенку или дно. На рис. приведены четыре последовательных снимка, сделанных камерой, пятый снимок совпадает с первым, в дальнейшем последовательность повторяется. На снимке 1 центр шарика расположен строго в центре полосы.
Определите время между двумя последовательными снимками, высоты, на которых шарик ударяется о стенки, а также величину скорости шарика непосредственно перед моментами съемки.
Ускорение свободного падения $g$, удары абсолютно упругие, время ударов очень мало, сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
На рис. изображены положения шарика (слева) и его центра (справа) в моменты времени, соответствующие снимкам. Обратим внимание, что центр шарика движется в квадрате со стороной $l^{ \prime} = l - d$, и далее, говоря о движении шарика в емкости, будем иметь в виду именно движение его центра в этом квадрате.
В поле силы тяжести в отсутствие сопротивления воздуха шарик будет двигаться по параболе. Поскольку удары о стенки емкости абсолютно упругие, то при них перпендикулярная соответствующей стенке компонента меняет направление, а параллельная - сохраняется. Поскольку удары еще и мгновенные, то, отразив участок траектории шарика между 2 и 3 снимком относительно левой стенки, а между 3 и 4 снимком - относительно правой стенки, мы получим, что участки 1-2-3 и 3-4-1 являются частями параболы (рис.). При движении в поле силы тяжести горизонтальная компонента скорости сохраняется, поэтому на участках 1-2 и 2-3 шарик проходит равные пути по горизонтали. А т.к. на участке 1-2 шарик проходит половину стороны квадрата, то т. 3 расположена строго посередине дна емкости.
Тогда участки 1-2-3 и 3-4-1 симметричны относительно средней линии емкости. Из условия следует, что движение повторяется, т.е. оказавшись вновь в т. 1, шарик продолжит двигаться по траектории 1-2-3, т.е. 3-4-1-2-3 - одна траектория. Поскольку т.1. лежит на ее оси симметрии, она является вершиной параболы, и скорость в ней направлена горизонтально.
Далее уже не очень сложно найти все необходимые величины. Поскольку движение из 1 в 3 представляет собой свободное падение с нулевой вертикальной скоростью, а при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью расстояния, проходимые за последовательные равные интервалы времени, относятся как последовательные нечетные числа, то расстояние по вертикали между точками 1 и 2 в 3 раза меньше, чем между точками 2 и 3, следовательно, т. 2 находится на высоте $3l^{ \prime}/4$ от нижней стороны квадрата, или на высоте $3l^{ \prime} /4 + d/2 = (3l - d)/4$ от дна емкости. На этой же высоте находится и т. 4.
Поскольку участок 1-3 шарик проходит за время $2 \tau$ ($\tau$ - интервал времени между снимками), то $\tau = \sqrt{ \frac{l^{ \prime}}{2g}} = \sqrt{ \frac{l-d}{2g}}$. Найдем теперь скорости шарика перед моментами съемки (говорить о скорости в моменты 2, 3, 4 некорректно, поскольку в момент удара скорость не определена). Горизонтальная компонента скорости шарика постоянна и может быть определена из соотношения $v_{гор} = \frac{l-d}{2 \tau} = \sqrt{ \frac{g(l-d)}{2}}$, это и есть скорость в положении 1.
Вертикальная компонента скорости шарика в т. 2 и 4 равна $g \tau$, а в т. 3 - $2 g \tau$. Тогда модули скорости определяются по теореме Пифагора и будут равны в положениях 2 и 4 $\sqrt{ g(l-d)}$, а в положении 3 $\sqrt{ \frac{5g(l-d)}{2}}$.
Ответ: время между снимками $\sqrt{ \frac{(l-d)}{2g}}$, высота на снимках 2 и 4 $\frac{3l - d}{4}$, скорости в положении 1 $\sqrt{ \frac{g(l-d)}{2}}$, в положениях 2 и 4 . $\sqrt{g(l-d)}$, в положении 3 $\sqrt{ \frac{5g(l-d)}{2}}$.
