Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2844
2017-04-16 
Металлический параллелепипед имеет размеры $a \times a \times b$, причем $a \ll b$. На прямой, соединяющей центры его малых граней, на расстоянии $r \gg b$ от него расположен диполь, дипольный момент которого равен $p$, а ось совпадает с указанной прямой. Оцените силу, действующую на параллелепипед со стороны диполя.
Примечание: диполем называются два точечных заряда одинаковой величины, но разного знака, расположенные на небольшом расстоянии друг от друга. Его дипольным моментом называется произведение величины зарядов на расстояние между ними.
Решение:
Пусть заряды, входящие в диполь, равны $+q$ и $-q$, а расстояние между ними $d (p = qd)$. Тогда поле на оси диполя на расстоянии г от него определится как суперпозиция полей образующих диполь зарядов:
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{1}{r^{2}} - \frac{1}{(r+d)^{2}} \right ) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{(r+d)^{2} - r^{2}}{r^{2}(r+d)^{2}} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{2rd + d^{2}}{r^{2}(r+d)^{2}} \approx \frac{qd}{2 \pi \epsilon_{0} r^{3}} = \frac{p}{2 \pi \epsilon_{0}r^{3}}$
(Вместо вычисления допускается запись известного участнику выражения для поля диполя.) Поскольку $r \gg b$, изменением величины этого поля в пределах проводника пренебрежем.
Появление поля приводит к появлению на торцах проводника индуцированных зарядов $Q$, таких, что суммарное поле внутри проводника оказывается равным нулю. Рассчитывая (для оценки) поле, создаваемое этими зарядами, как поле плоского конденсатора, получаем $E = \frac{qd}{2 \pi \epsilon_{0} r^{3}} = \frac{Q}{a^{2} \epsilon_{0}}$, откуда $Q = q \frac{da^{2}}{2 \pi r^{3}}$, причем отрицательный заряд расположен на ближнем к диполю конце. Тогда сила взаимодействия диполя с наведенными зарядами определится как $F = Q(E(r) - E(r + b)) = q^{2} \frac{da^{2}}{2 \pi r^{3}} \frac{d}{2 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{1}{r^{3}} - \frac{1}{(r+b)^{3}} \right ) \approx \frac{3p^{2}a^{2}b}{2 \pi^{2} r^{7}}$, причем это сила притяжения.
Ответ: $\frac{3p^{2}a^{2}b}{2 \pi^{2} r^{7}}$
Комментарий: полученная формула хорошо описывает силы притяжения, возникающие между неполярными молекулами при довольно больших расстояниях между ними, и соответствует второму слагаемому т.н. потенциала Леннард-Джонса $U(r) = \frac{a}{r^{12}} - \frac{b}{r^{6}}$, широко используемому для моделирования молекулярной динамики.
Металлический параллелепипед имеет размеры $a \times a \times b$, причем $a \ll b$. На прямой, соединяющей центры его малых граней, на расстоянии $r \gg b$ от него расположен диполь, дипольный момент которого равен $p$, а ось совпадает с указанной прямой. Оцените силу, действующую на параллелепипед со стороны диполя.
Примечание: диполем называются два точечных заряда одинаковой величины, но разного знака, расположенные на небольшом расстоянии друг от друга. Его дипольным моментом называется произведение величины зарядов на расстояние между ними.
Решение:
Пусть заряды, входящие в диполь, равны $+q$ и $-q$, а расстояние между ними $d (p = qd)$. Тогда поле на оси диполя на расстоянии г от него определится как суперпозиция полей образующих диполь зарядов:
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{1}{r^{2}} - \frac{1}{(r+d)^{2}} \right ) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{(r+d)^{2} - r^{2}}{r^{2}(r+d)^{2}} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{2rd + d^{2}}{r^{2}(r+d)^{2}} \approx \frac{qd}{2 \pi \epsilon_{0} r^{3}} = \frac{p}{2 \pi \epsilon_{0}r^{3}}$
(Вместо вычисления допускается запись известного участнику выражения для поля диполя.) Поскольку $r \gg b$, изменением величины этого поля в пределах проводника пренебрежем.
Появление поля приводит к появлению на торцах проводника индуцированных зарядов $Q$, таких, что суммарное поле внутри проводника оказывается равным нулю. Рассчитывая (для оценки) поле, создаваемое этими зарядами, как поле плоского конденсатора, получаем $E = \frac{qd}{2 \pi \epsilon_{0} r^{3}} = \frac{Q}{a^{2} \epsilon_{0}}$, откуда $Q = q \frac{da^{2}}{2 \pi r^{3}}$, причем отрицательный заряд расположен на ближнем к диполю конце. Тогда сила взаимодействия диполя с наведенными зарядами определится как $F = Q(E(r) - E(r + b)) = q^{2} \frac{da^{2}}{2 \pi r^{3}} \frac{d}{2 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{1}{r^{3}} - \frac{1}{(r+b)^{3}} \right ) \approx \frac{3p^{2}a^{2}b}{2 \pi^{2} r^{7}}$, причем это сила притяжения.
Ответ: $\frac{3p^{2}a^{2}b}{2 \pi^{2} r^{7}}$
Комментарий: полученная формула хорошо описывает силы притяжения, возникающие между неполярными молекулами при довольно больших расстояниях между ними, и соответствует второму слагаемому т.н. потенциала Леннард-Джонса $U(r) = \frac{a}{r^{12}} - \frac{b}{r^{6}}$, широко используемому для моделирования молекулярной динамики.
