Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2841
2017-04-16 
В длинную горизонтальную трубу помещены 2014 одинаковых шариков, диаметром 1 см каждый. В начальный момент времени расстояние между любыми двумя соседними шариками равно 6 см. Про начальные скорости шариков $v_{i} (i = 1, 2, \cdots, N)$ известно, что: 1) по модулю они равны 0 или 11 см/с; 2) их проекции на ось, направленную вдоль трубы, могут быть как положительными, так и отрицательными; 3) модули скоростей шариков, расположенных симметрично относительно центра системы, равны ($|v_{i}| = |v_{N+1-i}|$); 4) сумма проекций скоростей всех шариков равна нулю, а сумма квадратов скоростей всех шариков равна $242 см^{2}/с^{2}$.
Через 2013 с после начала движения расстояние между двумя крайними шариками утроилось. Через какое время (после начала движения) оно станет в пять раз больше, чем начальное? Шарики движутся без трения, сопротивление воздуха отсутствует, соударения между шариками абсолютно упругие и «мгновенные» (т.е. время столкновения пренебрежимо мало), при столкновениях шариков их энергия трубе не передается. Под расстоянием между любыми двумя шариками в данной задаче понимается расстояние между их центрами, внутренний диаметр трубы чуть больше 1 см.
Решение:
Во-первых, обратим внимание, что сумма квадратов скоростей всех шариков равна удвоенному квадрату скорости шарика. Это означает, что в начальный момент времени отличную от нуля скорость имеют только два шарика, причем вследствие равенства нулю суммарного импульса направления скорости у них различны.
Из условия следует, что импульс и энергия всей системы сохраняются. Поскольку массы всех шариков равны, то при столкновениях друг с другом шарики «обмениваются» скоростями: при столкновении движущегося шарика с неподвижным первый останавливается, а второй начинает двигаться; после столкновения шариков, движущихся навстречу друг другу, каждый движется в обратном направлении с прежней скоростью, поэтому в любой момент времени в системе будет двигаться только два шарика. (В общем случае возможны и «тройные» столкновения, при которых два шарика одновременно с разных сторон налетают на покоящийся третий, однако при выполнении условия 3 и четном числе шариков такой вариант невозможен.)
Из условий задачи следует, что в начальный момент скорости крайних шариков системы были либо а) направлены от ее центра, либо б) направлены к ее центру, либо в) равны нулю.
В начальный момент расстояние между крайними шариками равно $2013 \cdot 6 = 12078 см$. Тогда в варианте а) на его утроение потребуется $12078 \cdot 2/22 = 1098 с$, что не совпадает с указанным в условии временем.
Для анализа вариантов б) и в) рассмотрим процесс соударения шариков. При столкновении движущихся навстречу друг другу шариков каждый из них сначала проходит расстояние $l - d$ ($l$ - расстояние между шариками, $d$ - диаметр шарика), а затем мгновенно меняет скорость, что можно (поскольку шарики одинаковые) интерпретировать как мгновенное «перемещение» шарика на расстояние $d$. Поэтому кинематически получается, что каждый шарик проходит расстояние $l$ за время $(l-d)/v$.
При столкновении шарика с неподвижным рассуждения относительно движущегося шарика совпадают с изложенными выше, однако при этом неподвижный шарик мгновенно перемещается на расстояние $d$. Однако вследствие условия 3 любому столкновению движущегося, например, влево шарика с неподвижным через некоторое время будет соответствовать столкновение движущегося вправо шарика с этим же неподвижным, в результате которого он переместится обратно. Таким образом, можно считать, что при движении шариков они, не сталкиваясь, проходят сквозь друг друга, но при этом движутся со скоростями $vl/(l - d) = 13,2 см/с$.
Тогда в случае б) крайние шарики проходят всю систему «насквозь» за 12078/13,2 = 915 с. Далее они движутся со скоростями 11 м/с, и расстояние между ними утроится за 915 + 12078/11 = 2013 с, что соответствует условию. Увеличится же в пять раз оно еще за 12078/11 = 1098 с, т.е. всего за 3111 с от начала движения.
В случае в) при любом начальном положении движущихся шариков им нужно пройти меньший путь, чтобы «запустить» крайние шарики, следовательно, разлет начнется раньше и время утроения расстояния окажется меньше, что
не соответствует условию.
Ответ: через 3111 с после начала движения.
В длинную горизонтальную трубу помещены 2014 одинаковых шариков, диаметром 1 см каждый. В начальный момент времени расстояние между любыми двумя соседними шариками равно 6 см. Про начальные скорости шариков $v_{i} (i = 1, 2, \cdots, N)$ известно, что: 1) по модулю они равны 0 или 11 см/с; 2) их проекции на ось, направленную вдоль трубы, могут быть как положительными, так и отрицательными; 3) модули скоростей шариков, расположенных симметрично относительно центра системы, равны ($|v_{i}| = |v_{N+1-i}|$); 4) сумма проекций скоростей всех шариков равна нулю, а сумма квадратов скоростей всех шариков равна $242 см^{2}/с^{2}$.
Через 2013 с после начала движения расстояние между двумя крайними шариками утроилось. Через какое время (после начала движения) оно станет в пять раз больше, чем начальное? Шарики движутся без трения, сопротивление воздуха отсутствует, соударения между шариками абсолютно упругие и «мгновенные» (т.е. время столкновения пренебрежимо мало), при столкновениях шариков их энергия трубе не передается. Под расстоянием между любыми двумя шариками в данной задаче понимается расстояние между их центрами, внутренний диаметр трубы чуть больше 1 см.
Решение:
Во-первых, обратим внимание, что сумма квадратов скоростей всех шариков равна удвоенному квадрату скорости шарика. Это означает, что в начальный момент времени отличную от нуля скорость имеют только два шарика, причем вследствие равенства нулю суммарного импульса направления скорости у них различны.
Из условия следует, что импульс и энергия всей системы сохраняются. Поскольку массы всех шариков равны, то при столкновениях друг с другом шарики «обмениваются» скоростями: при столкновении движущегося шарика с неподвижным первый останавливается, а второй начинает двигаться; после столкновения шариков, движущихся навстречу друг другу, каждый движется в обратном направлении с прежней скоростью, поэтому в любой момент времени в системе будет двигаться только два шарика. (В общем случае возможны и «тройные» столкновения, при которых два шарика одновременно с разных сторон налетают на покоящийся третий, однако при выполнении условия 3 и четном числе шариков такой вариант невозможен.)
Из условий задачи следует, что в начальный момент скорости крайних шариков системы были либо а) направлены от ее центра, либо б) направлены к ее центру, либо в) равны нулю.
В начальный момент расстояние между крайними шариками равно $2013 \cdot 6 = 12078 см$. Тогда в варианте а) на его утроение потребуется $12078 \cdot 2/22 = 1098 с$, что не совпадает с указанным в условии временем.
Для анализа вариантов б) и в) рассмотрим процесс соударения шариков. При столкновении движущихся навстречу друг другу шариков каждый из них сначала проходит расстояние $l - d$ ($l$ - расстояние между шариками, $d$ - диаметр шарика), а затем мгновенно меняет скорость, что можно (поскольку шарики одинаковые) интерпретировать как мгновенное «перемещение» шарика на расстояние $d$. Поэтому кинематически получается, что каждый шарик проходит расстояние $l$ за время $(l-d)/v$.
При столкновении шарика с неподвижным рассуждения относительно движущегося шарика совпадают с изложенными выше, однако при этом неподвижный шарик мгновенно перемещается на расстояние $d$. Однако вследствие условия 3 любому столкновению движущегося, например, влево шарика с неподвижным через некоторое время будет соответствовать столкновение движущегося вправо шарика с этим же неподвижным, в результате которого он переместится обратно. Таким образом, можно считать, что при движении шариков они, не сталкиваясь, проходят сквозь друг друга, но при этом движутся со скоростями $vl/(l - d) = 13,2 см/с$.
Тогда в случае б) крайние шарики проходят всю систему «насквозь» за 12078/13,2 = 915 с. Далее они движутся со скоростями 11 м/с, и расстояние между ними утроится за 915 + 12078/11 = 2013 с, что соответствует условию. Увеличится же в пять раз оно еще за 12078/11 = 1098 с, т.е. всего за 3111 с от начала движения.
В случае в) при любом начальном положении движущихся шариков им нужно пройти меньший путь, чтобы «запустить» крайние шарики, следовательно, разлет начнется раньше и время утроения расстояния окажется меньше, что
не соответствует условию.
Ответ: через 3111 с после начала движения.
