Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2833
2017-04-16 
Рычажные весы закреплены на штативе (см. рис.). Длина каждого плеча весов 10 см, стрелка жёстко связана с рычагом, который может свободно вращаться вокруг оси. Точку крепления весов можно перемещать вдоль штатива и фиксировать на различной высоте. К концам рычага подвешены два одинаковых груза, представляющих собой цилиндры высотой 40 см, плотность которых больше плотности воды. На подставке стоят два высоких цилиндрических сосуда, площади оснований которых в 2 и 4 раза больше площади основания груза. В сосуды налита вода до такого уровня, что цилиндры могут в нее полностью погрузиться и при этом вода из сосудов не выльется. Точку крепления рычага начинают очень медленно (так, что новое равновесие каждый раз успевает установиться) опускать до тех пор, пока цилиндры не погрузятся в воду полностью. На какой максимальный угол и в какую сторону отклонится стрелка?
Указание: для тонкого рычага условие его равновесия не зависит от того, на какой угол относительно горизонтали он повернут.
Решение:
Если бы при погружении рычаг оставался горизонтальным, то расстояние от дна сосудов до цилиндров было бы одинаковым. Но поскольку сосуды имеют конечные и различные площади основания, то уровень воды в меньшем сосуде при этом был бы выше, чем в большем, поэтому сила Архимеда, действующая на левый груз, была бы больше, чем на правый, и правый груз начал бы опускаться; поэтому стрелка будет отклоняться вправо.
Условием равновесия рычага будет равенство разностей сил тяжести и Архимеда, действующих на цилиндры. Поскольку цилиндры одинаковые, то для этого должны быть равны действующие на них силы Архимеда. Сила Архимеда, действующая на частично погруженный в воду цилиндр (обозначения понятны из рис., $h_{0}$ - высота воды в сосуде до погружения цилиндра, $S$ - площадь основания цилиндра), определяется как $F_{A} = g \rho h_{погр}S$. Поэтому для равенства сил Архимеда необходимо равенство погруженных в воду частей цилиндров.
Вытесненный цилиндром объем воды $V_{выт} = (h_{0} - z) S$. Этот объем распределяется между стенками цилиндра и боковыми стенками сосуда, в результате чего уровень воды оказывается выше первоначального на $h_{выт} = V_{выт} / (S_{1,2} - S)$, где $S_{1,2}$ - площадь дна левого либо правого сосуда соответственно. Тогда
$h_{погр} = h_{0} + h_{выт} - z = (h_{0} - z_{1,2})(1 + S/(S_{1,2} - S))$. (1)
Отсюда получаем $z_{1,2} = h_{0} - h_{погр}/(1 - S_{1,2}/S)$.
Из рис. видно, что угол отклонения стрелки определяется по формуле $\sin \phi = \frac{ \delta z}{l} = \frac{ z_{1} - z_{2}}{2l}$ (2), что с учетом полученного ранее дает
$\sin \phi = \frac{h_{погр}}{2l} \left ( \frac{S}{S_{1}} - \frac{S}{S_{2}} \right )$. (2)
Требуемое максимальное значение угла будет достигнуто при максимальном $h_{погр}$, равном высоте цилиндров. Подставляя числовые значения, получаем $\sin \phi = 0,5, \phi = 30^{ \circ}$.
Ответ: на $30^{ \circ}$ вправо.
Рычажные весы закреплены на штативе (см. рис.). Длина каждого плеча весов 10 см, стрелка жёстко связана с рычагом, который может свободно вращаться вокруг оси. Точку крепления весов можно перемещать вдоль штатива и фиксировать на различной высоте. К концам рычага подвешены два одинаковых груза, представляющих собой цилиндры высотой 40 см, плотность которых больше плотности воды. На подставке стоят два высоких цилиндрических сосуда, площади оснований которых в 2 и 4 раза больше площади основания груза. В сосуды налита вода до такого уровня, что цилиндры могут в нее полностью погрузиться и при этом вода из сосудов не выльется. Точку крепления рычага начинают очень медленно (так, что новое равновесие каждый раз успевает установиться) опускать до тех пор, пока цилиндры не погрузятся в воду полностью. На какой максимальный угол и в какую сторону отклонится стрелка?
Указание: для тонкого рычага условие его равновесия не зависит от того, на какой угол относительно горизонтали он повернут.
Решение:
Если бы при погружении рычаг оставался горизонтальным, то расстояние от дна сосудов до цилиндров было бы одинаковым. Но поскольку сосуды имеют конечные и различные площади основания, то уровень воды в меньшем сосуде при этом был бы выше, чем в большем, поэтому сила Архимеда, действующая на левый груз, была бы больше, чем на правый, и правый груз начал бы опускаться; поэтому стрелка будет отклоняться вправо.
Условием равновесия рычага будет равенство разностей сил тяжести и Архимеда, действующих на цилиндры. Поскольку цилиндры одинаковые, то для этого должны быть равны действующие на них силы Архимеда. Сила Архимеда, действующая на частично погруженный в воду цилиндр (обозначения понятны из рис., $h_{0}$ - высота воды в сосуде до погружения цилиндра, $S$ - площадь основания цилиндра), определяется как $F_{A} = g \rho h_{погр}S$. Поэтому для равенства сил Архимеда необходимо равенство погруженных в воду частей цилиндров.
Вытесненный цилиндром объем воды $V_{выт} = (h_{0} - z) S$. Этот объем распределяется между стенками цилиндра и боковыми стенками сосуда, в результате чего уровень воды оказывается выше первоначального на $h_{выт} = V_{выт} / (S_{1,2} - S)$, где $S_{1,2}$ - площадь дна левого либо правого сосуда соответственно. Тогда
$h_{погр} = h_{0} + h_{выт} - z = (h_{0} - z_{1,2})(1 + S/(S_{1,2} - S))$. (1)
Отсюда получаем $z_{1,2} = h_{0} - h_{погр}/(1 - S_{1,2}/S)$.
Из рис. видно, что угол отклонения стрелки определяется по формуле $\sin \phi = \frac{ \delta z}{l} = \frac{ z_{1} - z_{2}}{2l}$ (2), что с учетом полученного ранее дает
$\sin \phi = \frac{h_{погр}}{2l} \left ( \frac{S}{S_{1}} - \frac{S}{S_{2}} \right )$. (2)
Требуемое максимальное значение угла будет достигнуто при максимальном $h_{погр}$, равном высоте цилиндров. Подставляя числовые значения, получаем $\sin \phi = 0,5, \phi = 30^{ \circ}$.
Ответ: на $30^{ \circ}$ вправо.
