Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2832
2017-04-16 
Колонна машин длиной 1010 метров движется по шоссе со скоростью 72 км/ч. Длина каждого автомобиля 10 метров. Как только передний бампер каждого автомобиля поравняется со знаком, указывающим начало аварийного участка дороги длиной 550 м, автомобиль начинает тормозить и в течение 10 секунд сбрасывает скорость вдвое. Когда же его задний бампер поравняется со знаком, указывающим конец этого участка, автомобиль так же в течение 10 секунд восстанавливает прежнюю скорость движения. Определите минимальную длину колонны и момент времени (считая от начала торможения первого автомобиля), в который она достигается.
Длиной автомобиля будем считать расстояние от переднего до заднего бампера, длиной колонны — расстояние от переднего бампера первого автомобиля до заднего бампера последнего. Считайте, что автомобили тормозят и ускоряются с постоянным ускорением, а интервалы между ними достаточно велики, чтобы автомобили могли затормозить, не столкнувшись.
Решение:
Сначала проделаем некоторые вспомогательные вычисления: определим путь, который проходит один автомобиль за время торможения (или разгона):
$s_{0} = \frac{v_{0}^{2} - (v/2)_{0}^{2}}{2a} = \frac{v_{0}^{2} - (v_{0}/2)^{2}}{2(v_{0} - v_{0}/2)} \tau = 150 м$ (здесь $v_{0} = 20 м/с$ и $\tau = 10 с$ - начальная скорость автомобиля и время торможения), а также время, в течение которого автомобили движутся с пониженной скоростью 36 км/ч:
$\tau_{1} = (550 м - 150 м + 10 м)/ 10 м/с = 41 с$.
По определению, длина колонны определяется положением первого и последнего автомобиля, поэтому можно записать
$L(t) = L_{0} + S_{f}(t) - S_{l}(t)$,
где $L_{0}$ -длина колонны в начальный момент времени, $S_{f}$ и $S_{l}$ - пути, пройденные первым и последним автомобилем за время $t$. Поэтому мгновенная скорость изменения длины колонны определяется мгновенными скоростями изменения $S_{f}$ и $S_{l}$, т.е. мгновенными скоростями первого и последнего автомобилей. Очевидно, что длина колонны будет уменьшаться до тех пор, пока скорость первого автомобиля меньше, чем скорость последнего. Поэтому минимальная длина колонны будет достигнута в тот момент, когда скорости первого и последнего автомобиля совпадут.
Поскольку время, в течение которого первый автомобиль преодолевает аварийный участок, равно 41 + 10 = 51 с и больше, чем время, которое проходит до начала торможения последнего автомобиля (1000 м/20м/с=50 с), то описанная ситуация возникнет в тот момент, когда первый автомобиль разгоняется, а второй - тормозит. Учитывая, что разгон начинается на 1 с позже, чем торможение, запишем $v_{0} - at = v_{0}/2 + a(t - t_{0})$, где $a = v_{0}/2 \tau = 1 м/с , t_{0} = 1 с$. Из этого уравнения находим $t = v_{0} / 2a + t_{0}/2 = 5,5 с$, т.е. минимальная длина колонны будет достигнута через 5,5 с после начала торможения последнего автомобиля, или через 55,5 с от начала торможения первого автомобиля.
Теперь несложно найти и саму минимальную длину: за эти 5,5 с последний автомобиль пройдет по аварийному участку $20 \cdot 5,5 - 5,5^{2}/2 = 94,875 м$, а первый отъедет от аварийного участка на $10 \cdot 4,5 + 4,5^{2}/2 = 55,125 м$. Таким образом, с учетом длины первого и последнего автомобиля, минимальная длина колонны составит 550 + 55,125 - 94,875 + 10 + 10 = 530,25 м.
Ответ: 530,25 м (допускается округление до целых метров), через 55,5 с.
Колонна машин длиной 1010 метров движется по шоссе со скоростью 72 км/ч. Длина каждого автомобиля 10 метров. Как только передний бампер каждого автомобиля поравняется со знаком, указывающим начало аварийного участка дороги длиной 550 м, автомобиль начинает тормозить и в течение 10 секунд сбрасывает скорость вдвое. Когда же его задний бампер поравняется со знаком, указывающим конец этого участка, автомобиль так же в течение 10 секунд восстанавливает прежнюю скорость движения. Определите минимальную длину колонны и момент времени (считая от начала торможения первого автомобиля), в который она достигается.
Длиной автомобиля будем считать расстояние от переднего до заднего бампера, длиной колонны — расстояние от переднего бампера первого автомобиля до заднего бампера последнего. Считайте, что автомобили тормозят и ускоряются с постоянным ускорением, а интервалы между ними достаточно велики, чтобы автомобили могли затормозить, не столкнувшись.
Решение:
Сначала проделаем некоторые вспомогательные вычисления: определим путь, который проходит один автомобиль за время торможения (или разгона):
$s_{0} = \frac{v_{0}^{2} - (v/2)_{0}^{2}}{2a} = \frac{v_{0}^{2} - (v_{0}/2)^{2}}{2(v_{0} - v_{0}/2)} \tau = 150 м$ (здесь $v_{0} = 20 м/с$ и $\tau = 10 с$ - начальная скорость автомобиля и время торможения), а также время, в течение которого автомобили движутся с пониженной скоростью 36 км/ч:
$\tau_{1} = (550 м - 150 м + 10 м)/ 10 м/с = 41 с$.
По определению, длина колонны определяется положением первого и последнего автомобиля, поэтому можно записать
$L(t) = L_{0} + S_{f}(t) - S_{l}(t)$,
где $L_{0}$ -длина колонны в начальный момент времени, $S_{f}$ и $S_{l}$ - пути, пройденные первым и последним автомобилем за время $t$. Поэтому мгновенная скорость изменения длины колонны определяется мгновенными скоростями изменения $S_{f}$ и $S_{l}$, т.е. мгновенными скоростями первого и последнего автомобилей. Очевидно, что длина колонны будет уменьшаться до тех пор, пока скорость первого автомобиля меньше, чем скорость последнего. Поэтому минимальная длина колонны будет достигнута в тот момент, когда скорости первого и последнего автомобиля совпадут.
Поскольку время, в течение которого первый автомобиль преодолевает аварийный участок, равно 41 + 10 = 51 с и больше, чем время, которое проходит до начала торможения последнего автомобиля (1000 м/20м/с=50 с), то описанная ситуация возникнет в тот момент, когда первый автомобиль разгоняется, а второй - тормозит. Учитывая, что разгон начинается на 1 с позже, чем торможение, запишем $v_{0} - at = v_{0}/2 + a(t - t_{0})$, где $a = v_{0}/2 \tau = 1 м/с , t_{0} = 1 с$. Из этого уравнения находим $t = v_{0} / 2a + t_{0}/2 = 5,5 с$, т.е. минимальная длина колонны будет достигнута через 5,5 с после начала торможения последнего автомобиля, или через 55,5 с от начала торможения первого автомобиля.
Теперь несложно найти и саму минимальную длину: за эти 5,5 с последний автомобиль пройдет по аварийному участку $20 \cdot 5,5 - 5,5^{2}/2 = 94,875 м$, а первый отъедет от аварийного участка на $10 \cdot 4,5 + 4,5^{2}/2 = 55,125 м$. Таким образом, с учетом длины первого и последнего автомобиля, минимальная длина колонны составит 550 + 55,125 - 94,875 + 10 + 10 = 530,25 м.
Ответ: 530,25 м (допускается округление до целых метров), через 55,5 с.
