ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-04-15   
Определите молярную теплоемкость идеального одноатомного газа в процессе, при котором его температура пропорциональна квадрату давления.


Решение:


Заменим пропорциональность между температурой и давлением равенством: $T \sim p^{2} \Rightarrow T = bp^{2}$. Подставив его в уравнение Менделеева-Клапейрона, придем к выводу о пропорциональности между давлением и объемом газа в данном процессе: $pV = \nu Rbp^{2} \Rightarrow p = aV$. По определению молярной теплоемкости:

$C = \frac{ \Delta Q}{ \nu \Delta T} = \frac{ \Delta U + p \Delta V}{ \nu \Delta T} = C_{V} + \frac{p \Delta V}{ \nu \Delta T}$. (1)

Чтобы раскрыть второе слагаемое, применим уравнение Менделеева-Клапейрона. В исходном состоянии: $pV = \nu RT$. При небольшом изменении параметров газа: $(p + \Delta p) (V + \Delta V) = \nu R(T + \Delta T)$.

Раскроем скобки:

$pV + V \Delta p + p \Delta V + \Delta p \Delta V = \nu RT + \nu R \Delta T$. Если привести подобные члены $pV = \nu RT$ и учесть, что $\Delta p \Delta V$ значительно меньше остальных слагаемых получим:

$V \Delta p + p \Delta V = \nu R \Delta T$. (2)

Так как $p = aV$, то $\Delta p = a \Delta V$. Тогда (2) запишется в виде: $2p \Delta V = \nu R \Delta T$. Откуда следует, что:

$p \Delta V = \frac{1}{2} \nu R \Delta T$. (3)

Подставив (3) в (1), получаем выражение для искомой теплоемкости газа:

$C = C_{V} + \frac{p \Delta V}{ \nu \Delta T} = C_{V} + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2} + \frac{R}{2} = 2R$.

Ответ: $2R$.