Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2828
2017-04-15 
На абсолютно гладкой горизонтальной поверхности покоится свинцовый кубик массой 81 г. В него начинают стрелять из винтовки, причем пули застревают в кубике. Сколько выстрелов придется сделать, прежде чем кубик начнет плавиться? Пули также сделаны из свинца, масса пули 9 г, скорость пули направлена горизонтально и равна 700 м/с, температура пули перед ударом $127^{ \circ} С$, температура кубика до начала стрельбы $27^{ \circ} С$, удельная теплоемкость свинца $130 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} С)$, его температура плавления $327^{ \circ} С$. Потерями тепла на нагрев воздуха и поверхности и на тепловое излучение пренебречь.
Решение:
Очевидно, что удар пуль о мишень неупругий, и «несохраняющаяся» часть механической энергии идет на нагрев мишени и пули. Для корректного расчета необходимо учесть а) увеличение массы мишени за счет застревающих пуль, в т.ч. при расчете необходимой для нагрева энергии и б) наличие скорости у мишени перед ударом второй и последующих пуль. (Числовые данные задачи специально подобраны так, чтобы правильный ответ получался только при учете обоих упомянутых моментов.)
В общем виде выкладки к задаче весьма громоздки, поэтому сразу получим числовые значения некоторых характерных величин
1. Кинетическая энергия одной пули: 2,205 кДж.
2. Энергия, необходимая для нагрева до плавления мишени (без пуль): 3,159 кДж.
3. Энергия, необходимая для нагрева до плавления одной пули: 0,234 кДж.
Поскольку масса мишени в 9 раз больше массы пули, то из закона сохранения импульса следует, что после попадания в мишень первой пули она приобретает скорость $0,1v$, тогда в тепло переходит энергия $Q_{1} = 0,5 (mv^{2} - (M + m)(0,1v)^{2}) = 0,5 m(1 - 10 \cdot 0,01)v^{2} = 0,9 \cdot 2,205кДж = 1,985 кДж$, которой, очевидно, недостаточно для нагрева до нужной температуры.
При ударе второй пули закон сохранения импульса имеет вид
$mv + 0,1(M + m)v = (M + 2m)v_{2}$,
откуда скорость после попадания второй пули $v_{2} = 2/11 v$. Тогда переходящая в тепло энергия $Q_{2} = 0,5(mv^{2} + (M+m)(0,1v)^{2} - (M + 2m)(2/11v)^{2}) = (1 + 10 \cdot 0,01 - 4/11) \cdot 2,205 кДж = 1,623 кДж$. Таким образом, после попадания двух пуль в тепло переходит 1,985 + 1,623 = 3,608 кДж, а для нагрева до плавления мишени и двух пуль необходимо 3,159+0,234+0,234=3,627 кДж, т.е. немного больше. Поэтому двух пуль не хватит, а трех точно хватит, т.к. энергия пули более чем в 10 раз превышает «недостающие» 3,627 - 3,608 + 0,234 = 0,253 кДж энергии.
Ответ: три выстрела.
На абсолютно гладкой горизонтальной поверхности покоится свинцовый кубик массой 81 г. В него начинают стрелять из винтовки, причем пули застревают в кубике. Сколько выстрелов придется сделать, прежде чем кубик начнет плавиться? Пули также сделаны из свинца, масса пули 9 г, скорость пули направлена горизонтально и равна 700 м/с, температура пули перед ударом $127^{ \circ} С$, температура кубика до начала стрельбы $27^{ \circ} С$, удельная теплоемкость свинца $130 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} С)$, его температура плавления $327^{ \circ} С$. Потерями тепла на нагрев воздуха и поверхности и на тепловое излучение пренебречь.
Решение:
Очевидно, что удар пуль о мишень неупругий, и «несохраняющаяся» часть механической энергии идет на нагрев мишени и пули. Для корректного расчета необходимо учесть а) увеличение массы мишени за счет застревающих пуль, в т.ч. при расчете необходимой для нагрева энергии и б) наличие скорости у мишени перед ударом второй и последующих пуль. (Числовые данные задачи специально подобраны так, чтобы правильный ответ получался только при учете обоих упомянутых моментов.)
В общем виде выкладки к задаче весьма громоздки, поэтому сразу получим числовые значения некоторых характерных величин
1. Кинетическая энергия одной пули: 2,205 кДж.
2. Энергия, необходимая для нагрева до плавления мишени (без пуль): 3,159 кДж.
3. Энергия, необходимая для нагрева до плавления одной пули: 0,234 кДж.
Поскольку масса мишени в 9 раз больше массы пули, то из закона сохранения импульса следует, что после попадания в мишень первой пули она приобретает скорость $0,1v$, тогда в тепло переходит энергия $Q_{1} = 0,5 (mv^{2} - (M + m)(0,1v)^{2}) = 0,5 m(1 - 10 \cdot 0,01)v^{2} = 0,9 \cdot 2,205кДж = 1,985 кДж$, которой, очевидно, недостаточно для нагрева до нужной температуры.
При ударе второй пули закон сохранения импульса имеет вид
$mv + 0,1(M + m)v = (M + 2m)v_{2}$,
откуда скорость после попадания второй пули $v_{2} = 2/11 v$. Тогда переходящая в тепло энергия $Q_{2} = 0,5(mv^{2} + (M+m)(0,1v)^{2} - (M + 2m)(2/11v)^{2}) = (1 + 10 \cdot 0,01 - 4/11) \cdot 2,205 кДж = 1,623 кДж$. Таким образом, после попадания двух пуль в тепло переходит 1,985 + 1,623 = 3,608 кДж, а для нагрева до плавления мишени и двух пуль необходимо 3,159+0,234+0,234=3,627 кДж, т.е. немного больше. Поэтому двух пуль не хватит, а трех точно хватит, т.к. энергия пули более чем в 10 раз превышает «недостающие» 3,627 - 3,608 + 0,234 = 0,253 кДж энергии.
Ответ: три выстрела.
