Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2826
2017-04-15 
Конус высотой $2R$ и радиусом основания $R$, внешняя поверхность которого является зеркалом, разместили на стойке высотой $2R$ над полом большой комнаты и освещают вертикальным пучком света, диаметр которого совпадает с диаметром основания конуса (см. рис.). Определите площадь освещенной области на полу комнаты.
Решение:
Вследствие наличия поворотной симметрии относительно оси конуса освещенная область будет кольцом, края которого образованы точками падения на пол лучей, отразившихся от вершины и от нижнего края конуса.
Обозначим $\alpha$ половину угла при вершине конуса (из условия следует, что $tg \alpha = 0,5$), тогда угол падения лучей составляет $90^{ \circ} - \alpha$, и после отражения лучи будут составлять угол $2 \alpha$ с горизонталью. Соответственно, луч, отразившийся почти у самой вершины конуса, осветит точку на расстоянии $4R tg 2 \alpha$ от центра, а отразившийся от нижнего края - на расстоянии $R + 2R tg 2 \alpha$ (см. рис.) Используя известные формулы двойного угла, можно рассчитать $tg 2 \alpha = 4/3$, тогда площадь освещенной области равна $\pi (256 R^{2}/9 - 121 R^{2} /9) = 135 \pi R^{2} /9$.
Конус высотой $2R$ и радиусом основания $R$, внешняя поверхность которого является зеркалом, разместили на стойке высотой $2R$ над полом большой комнаты и освещают вертикальным пучком света, диаметр которого совпадает с диаметром основания конуса (см. рис.). Определите площадь освещенной области на полу комнаты.
Решение:
Вследствие наличия поворотной симметрии относительно оси конуса освещенная область будет кольцом, края которого образованы точками падения на пол лучей, отразившихся от вершины и от нижнего края конуса.
Обозначим $\alpha$ половину угла при вершине конуса (из условия следует, что $tg \alpha = 0,5$), тогда угол падения лучей составляет $90^{ \circ} - \alpha$, и после отражения лучи будут составлять угол $2 \alpha$ с горизонталью. Соответственно, луч, отразившийся почти у самой вершины конуса, осветит точку на расстоянии $4R tg 2 \alpha$ от центра, а отразившийся от нижнего края - на расстоянии $R + 2R tg 2 \alpha$ (см. рис.) Используя известные формулы двойного угла, можно рассчитать $tg 2 \alpha = 4/3$, тогда площадь освещенной области равна $\pi (256 R^{2}/9 - 121 R^{2} /9) = 135 \pi R^{2} /9$.
