Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2825
2017-04-15 
К новогодней дискотеке школьники собрали световое панно из лампочек для ёлочной гирлянды (см. рис., во всех точках пересечения проводов есть электрический контакт). Каждая лампочка имеет следующие параметры: номинальный ток 0,26 А, максимальный ток - 0,3 А, минимальный ток (при котором лампочка ещё светится) - 0,125 А. Внутренние клеммы подключили к положительному полюсу источника постоянного тока, внешние - к отрицательному. Источник имеет не зависящую от нагрузки ЭДС и внутреннее сопротивление, которое в два раза меньше сопротивления одной лампочки. После замыкания цепи загорелись только 4 лампочки, которые сразу же перегорели (все одновременно), после чего зажглись остальные, причём 4 лампочки работали в нормальном режиме, а остальные светили «вполнакала». Объясните, подтвердив расчётами, последовательность событий, укажите, какие лампочки работали в том или ином режиме, и определите ток короткого замыкания источника.
Примечание: внутреннее сопротивление источника тока можно рассматривать как подключенный последовательно к нему резистор. Током короткого замыкания источника называется ток, текущий через него при нулевом сопротивлении нагрузки.
Решение:
Введём обозначения: сопротивление лампочки - $R$, внутреннее сопротивление источника - $r$, номинальный ток - $I_{ном}$, ток короткого замыкания источника - $I_{кз}$. Конструкция обладает поворотной симметрией, поэтому эквивалентная схема имеет вид, показанный на рис. (на самом деле все узлы слева, так же, как и все узлы справа, можно объединить. На рис. этого не сделано из соображений наглядности). Видно, что в цепь входят ветви двух типов (по 4 каждого): состоящие из 7 лампочек и из одной лампочки. Сопротивление каждой ветви первого типа $R_{1} = 2,5R = \alpha R$, второго - $R$.
Сопротивление всего панно сразу после включения определится по формуле $\frac{1}{R_{ \Sigma_{1}}} = \frac{4}{ \alpha R} + \frac{4}{R} \rightarrow R_{ \Sigma_{1}} = \frac{ \alpha}{4( \alpha + 2)} R \equiv \alpha_{1}R$, а полный ток в цепи в этом случае $I_{01} = \frac{E}{R_{ \Sigma_{1}} + r} = \frac{I_{кз}}{R_{ \Sigma_{1}}/r + 1} = \frac{I_{кз}}{ \alpha_{1} R/r + 1} = \frac{I_{кз}}{ \alpha_{1} \beta + 1} $, где $E$ - ЭДС источника, $I_{кз}$ - искомый ток короткого замыкания источника, равный отношению ЭДС источника к его внутреннему сопротивлению, а $\beta = 2$ есть отношение сопротивления лампочки к внутреннему сопротивлению источника.
Тогда для токов в ветвях первого (с 7-ю лампочками) и второго (с одной) типов имеем
$\begin{cases} 4I_{11} + 4 I_{21} = I_{01} \\ I_{21}R = I_{11} \alpha R \end{cases}$, $\begin{cases} I_{11} = \frac{I_{01}}{4( \alpha + 1)} \\ I_{21} = \frac{ \alpha I_{01}}{4 ( \alpha + 1)} \end{cases}$, $\begin{cases} I_{11} = \frac{I_{кз}}{ \alpha \beta + 4( \alpha + 1)} \\ I_{21} = \frac{ \alpha I_{кз}}{ \alpha \beta + 4 ( \alpha + 1)} \end{cases}$
Согласно условиям задачи, в ветвях первого типа лампочки не зажглись, то есть ток оказался меньше минимального, а в ветвях второго типа - перегорели, то есть ток был больше максимально допустимого. Следовательно:
$I_{I1} < I_{min}, I_{II1} > I_{max}$
$\begin{cases} \frac{I_{кз}}{ \alpha \beta + 4( \alpha + 1)} < I_{min} \\ \frac{ \alpha I_{кз}}{ \alpha \beta + 4 ( \alpha + 1)} > I_{max} \end{cases}$
После того, как 4 лампочки перегорели, в цепи остались только 4 ветви первого типа. Для них
$I_{02} = \frac{E}{ \alpha R/4 + r} = \frac{I_{кз}}{ \alpha \beta / 4 + 1}; I_{12} = \frac{I_{02}}{4} = \frac{I_{кз}}{ \alpha \beta + 4} \rightarrow I_{ном} = \frac{I_{кз}}{ \alpha \beta + 4}$
Последнее равенство следует из условия, что 4 лампочки работали в нормальном режиме, то есть через них шёл номинальный ток. Проверим выполнение условий
$I_{I1} < I_{min}, I_{II1} > I_{max}$
$\begin{cases} \frac{I_{ном} ( \alpha \beta + 4)}{ \alpha \beta + 4 ( \alpha + 1)} < I_{min} \\ \frac{ \alpha I_{ном} ( \alpha \beta + 4)}{ \alpha \beta + 4 ( \alpha + 1)} > I_{max} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \frac{ \alpha \beta + 4}{ \alpha + \beta + 4 ( \alpha + 1) } < \frac{I_{min}}{I_{ном}} \\ \frac{ \alpha ( \alpha \beta + 4) }{ \alpha \beta + 4 ( \alpha + 1) } > \frac{I_{maх}}{I_{ном}} \end{cases} \rightarrow \frac{I_{max}}{ \alpha I_{ном}} < \frac{1}{1 + \frac{4 \alpha}{ \alpha \beta +4}} < \frac{I_{min}}{I_{ном}}$
Подставляя значения из условия, получаем подтверждение справедливости неравенств. Для максимального тока источника получаем:
$I_{кз} = I_{ном} ( \alpha \beta + 4) = 9 I_{ном} = 2,34 А$.
Возможны и решения, основанные на предварительном преобразовании схемы с учетом присутствующей симметрии.
Ответ: Перегорели лампочки В1, В3, В5, В7, нормально горели лампочки В2, В4, В6, В8, вполнакала - лампочки А1 - А8 и С1 - С16. Ток короткого замыкания источника 2,34 А.
К новогодней дискотеке школьники собрали световое панно из лампочек для ёлочной гирлянды (см. рис., во всех точках пересечения проводов есть электрический контакт). Каждая лампочка имеет следующие параметры: номинальный ток 0,26 А, максимальный ток - 0,3 А, минимальный ток (при котором лампочка ещё светится) - 0,125 А. Внутренние клеммы подключили к положительному полюсу источника постоянного тока, внешние - к отрицательному. Источник имеет не зависящую от нагрузки ЭДС и внутреннее сопротивление, которое в два раза меньше сопротивления одной лампочки. После замыкания цепи загорелись только 4 лампочки, которые сразу же перегорели (все одновременно), после чего зажглись остальные, причём 4 лампочки работали в нормальном режиме, а остальные светили «вполнакала». Объясните, подтвердив расчётами, последовательность событий, укажите, какие лампочки работали в том или ином режиме, и определите ток короткого замыкания источника.
Примечание: внутреннее сопротивление источника тока можно рассматривать как подключенный последовательно к нему резистор. Током короткого замыкания источника называется ток, текущий через него при нулевом сопротивлении нагрузки.
Решение:
Введём обозначения: сопротивление лампочки - $R$, внутреннее сопротивление источника - $r$, номинальный ток - $I_{ном}$, ток короткого замыкания источника - $I_{кз}$. Конструкция обладает поворотной симметрией, поэтому эквивалентная схема имеет вид, показанный на рис. (на самом деле все узлы слева, так же, как и все узлы справа, можно объединить. На рис. этого не сделано из соображений наглядности). Видно, что в цепь входят ветви двух типов (по 4 каждого): состоящие из 7 лампочек и из одной лампочки. Сопротивление каждой ветви первого типа $R_{1} = 2,5R = \alpha R$, второго - $R$.
Сопротивление всего панно сразу после включения определится по формуле $\frac{1}{R_{ \Sigma_{1}}} = \frac{4}{ \alpha R} + \frac{4}{R} \rightarrow R_{ \Sigma_{1}} = \frac{ \alpha}{4( \alpha + 2)} R \equiv \alpha_{1}R$, а полный ток в цепи в этом случае $I_{01} = \frac{E}{R_{ \Sigma_{1}} + r} = \frac{I_{кз}}{R_{ \Sigma_{1}}/r + 1} = \frac{I_{кз}}{ \alpha_{1} R/r + 1} = \frac{I_{кз}}{ \alpha_{1} \beta + 1} $, где $E$ - ЭДС источника, $I_{кз}$ - искомый ток короткого замыкания источника, равный отношению ЭДС источника к его внутреннему сопротивлению, а $\beta = 2$ есть отношение сопротивления лампочки к внутреннему сопротивлению источника.
Тогда для токов в ветвях первого (с 7-ю лампочками) и второго (с одной) типов имеем
$\begin{cases} 4I_{11} + 4 I_{21} = I_{01} \\ I_{21}R = I_{11} \alpha R \end{cases}$, $\begin{cases} I_{11} = \frac{I_{01}}{4( \alpha + 1)} \\ I_{21} = \frac{ \alpha I_{01}}{4 ( \alpha + 1)} \end{cases}$, $\begin{cases} I_{11} = \frac{I_{кз}}{ \alpha \beta + 4( \alpha + 1)} \\ I_{21} = \frac{ \alpha I_{кз}}{ \alpha \beta + 4 ( \alpha + 1)} \end{cases}$
Согласно условиям задачи, в ветвях первого типа лампочки не зажглись, то есть ток оказался меньше минимального, а в ветвях второго типа - перегорели, то есть ток был больше максимально допустимого. Следовательно:
$I_{I1} < I_{min}, I_{II1} > I_{max}$
$\begin{cases} \frac{I_{кз}}{ \alpha \beta + 4( \alpha + 1)} < I_{min} \\ \frac{ \alpha I_{кз}}{ \alpha \beta + 4 ( \alpha + 1)} > I_{max} \end{cases}$
После того, как 4 лампочки перегорели, в цепи остались только 4 ветви первого типа. Для них
$I_{02} = \frac{E}{ \alpha R/4 + r} = \frac{I_{кз}}{ \alpha \beta / 4 + 1}; I_{12} = \frac{I_{02}}{4} = \frac{I_{кз}}{ \alpha \beta + 4} \rightarrow I_{ном} = \frac{I_{кз}}{ \alpha \beta + 4}$
Последнее равенство следует из условия, что 4 лампочки работали в нормальном режиме, то есть через них шёл номинальный ток. Проверим выполнение условий
$I_{I1} < I_{min}, I_{II1} > I_{max}$
$\begin{cases} \frac{I_{ном} ( \alpha \beta + 4)}{ \alpha \beta + 4 ( \alpha + 1)} < I_{min} \\ \frac{ \alpha I_{ном} ( \alpha \beta + 4)}{ \alpha \beta + 4 ( \alpha + 1)} > I_{max} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \frac{ \alpha \beta + 4}{ \alpha + \beta + 4 ( \alpha + 1) } < \frac{I_{min}}{I_{ном}} \\ \frac{ \alpha ( \alpha \beta + 4) }{ \alpha \beta + 4 ( \alpha + 1) } > \frac{I_{maх}}{I_{ном}} \end{cases} \rightarrow \frac{I_{max}}{ \alpha I_{ном}} < \frac{1}{1 + \frac{4 \alpha}{ \alpha \beta +4}} < \frac{I_{min}}{I_{ном}}$
Подставляя значения из условия, получаем подтверждение справедливости неравенств. Для максимального тока источника получаем:
$I_{кз} = I_{ном} ( \alpha \beta + 4) = 9 I_{ном} = 2,34 А$.
Возможны и решения, основанные на предварительном преобразовании схемы с учетом присутствующей симметрии.
Ответ: Перегорели лампочки В1, В3, В5, В7, нормально горели лампочки В2, В4, В6, В8, вполнакала - лампочки А1 - А8 и С1 - С16. Ток короткого замыкания источника 2,34 А.
