Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2819
2017-04-15 
В дне цилиндрического сосуда симметрично относительно его диаметра прорезан желобок, ширина которого в три раза меньше внутреннего диаметра сосуда, а глубина меньше толщины дна. В каждый из двух таких сосудов установили куб, основание которого является вписанным в основание сосуда квадратом: в первый - так, как показано на рис.1, а во второй - повернув куб на 45° по часовой стрелке. Куб во втором сосуде всплывет, если в него налить воды до уровня 0,9 высоты куба. Определите, всплывет ли, и если да, то при какой высоте воды («в единицах» высоты куба) куб в первом сосуде. Уровень воды отсчитывается от дна сосуда. Во всех точках, кроме желобка, куб плотно прилегает к дну, силами сцепления куба с дном пренебречь, высота сосуда превышает высоту куба, кубы абсолютно одинаковые.
Решение:
Понятно, что сторона квадрата $a$ связана с диаметром основания $d$ соотношением $a = \frac{d}{ \sqrt{2}}$. Помимо силы тяжести, на куб действует сила гидростатического давления со стороны воды, затекшей в желобок, которая равна $F = g \rho_{0} S$, где $S$ - площадь перекрытия основания куба и желобка. Тогда условие всплытия имеет вид $m = \rho_{0} Sh$, где $h$ - высота жидкости, отсчитываемая от основания куба.
В первом сосуде $S = (d/3)a = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{3}$, тогда, вводя плотность куба $\rho$, имеем $\rho a^{3} = \rho_{0} h_{1} \frac{a^{2} \sqrt{2}}{3}$.
Для расчета площади перекрытия во втором сосуде разобьем ее на прямоугольник и два прямоугольных треугольника (см. рис.). Поскольку сторона куба со стороной желобка образует угол $45^{ \circ}$, то стороны прямоугольника равны $(d/3)$ и $(2d/3)$, а высота треугольника равна $d/6$, тогда $S_{2} = 2d^{2}/9 + (d/3) (d/6) = 5d^{2}/18 = 5a^{2}/9$. Из условия всплытия куба получаем $\rho a^{3} = \rho_{0} 0,9 a \frac{5a^{2}}{9}$, откуда $\frac{ \rho}{ \rho_{0}} = \frac{1}{2}$. Тогда $h_{1} = \frac{3}{2 \sqrt{2}} a \approx 1,06 a$. Однако при таком значении $h_{1}$ полученные формулы уже не корректны, т.к. вода покрывает куб с верхом и оказывает давление на его верхнюю грань. Т.к. площадь верхней грани превышает площадь перекрытия, то увеличение уровня воды выше $a$ приводит лишь к увеличению силы, прижимающей куб ко дну, следовательно, если кубик не всплывает при $h=a$, то он не всплывет вообще.
Ответ: не всплывет.
В дне цилиндрического сосуда симметрично относительно его диаметра прорезан желобок, ширина которого в три раза меньше внутреннего диаметра сосуда, а глубина меньше толщины дна. В каждый из двух таких сосудов установили куб, основание которого является вписанным в основание сосуда квадратом: в первый - так, как показано на рис.1, а во второй - повернув куб на 45° по часовой стрелке. Куб во втором сосуде всплывет, если в него налить воды до уровня 0,9 высоты куба. Определите, всплывет ли, и если да, то при какой высоте воды («в единицах» высоты куба) куб в первом сосуде. Уровень воды отсчитывается от дна сосуда. Во всех точках, кроме желобка, куб плотно прилегает к дну, силами сцепления куба с дном пренебречь, высота сосуда превышает высоту куба, кубы абсолютно одинаковые.
Решение:
Понятно, что сторона квадрата $a$ связана с диаметром основания $d$ соотношением $a = \frac{d}{ \sqrt{2}}$. Помимо силы тяжести, на куб действует сила гидростатического давления со стороны воды, затекшей в желобок, которая равна $F = g \rho_{0} S$, где $S$ - площадь перекрытия основания куба и желобка. Тогда условие всплытия имеет вид $m = \rho_{0} Sh$, где $h$ - высота жидкости, отсчитываемая от основания куба.
В первом сосуде $S = (d/3)a = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{3}$, тогда, вводя плотность куба $\rho$, имеем $\rho a^{3} = \rho_{0} h_{1} \frac{a^{2} \sqrt{2}}{3}$.
Для расчета площади перекрытия во втором сосуде разобьем ее на прямоугольник и два прямоугольных треугольника (см. рис.). Поскольку сторона куба со стороной желобка образует угол $45^{ \circ}$, то стороны прямоугольника равны $(d/3)$ и $(2d/3)$, а высота треугольника равна $d/6$, тогда $S_{2} = 2d^{2}/9 + (d/3) (d/6) = 5d^{2}/18 = 5a^{2}/9$. Из условия всплытия куба получаем $\rho a^{3} = \rho_{0} 0,9 a \frac{5a^{2}}{9}$, откуда $\frac{ \rho}{ \rho_{0}} = \frac{1}{2}$. Тогда $h_{1} = \frac{3}{2 \sqrt{2}} a \approx 1,06 a$. Однако при таком значении $h_{1}$ полученные формулы уже не корректны, т.к. вода покрывает куб с верхом и оказывает давление на его верхнюю грань. Т.к. площадь верхней грани превышает площадь перекрытия, то увеличение уровня воды выше $a$ приводит лишь к увеличению силы, прижимающей куб ко дну, следовательно, если кубик не всплывает при $h=a$, то он не всплывет вообще.
Ответ: не всплывет.
