Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2816
2017-04-15 
Тонкую собирающую линзу диаметром $D$ с фокусным расстоянием $F$ аккуратно распилили пополам по плоскости, содержащей главную оптическую ось, и каждую из полученных половинок повернули на угол а относительно «старого» положения (см. рис.). Полученный «угол» вставили в отверстие в непрозрачном экране и освещают широким параллельным пучком света, идущим параллельно оси симметрии «угла». На расстоянии $F$ от его вершины перпендикулярно его линии симметрии и направлению падающего пучка расположили линейку. Определите размер освещенной области на ней. Считайте, что линза столь тонкая, что влиянием «щели» в ней, образовавшейся в результате наклона половинок, можно пренебречь.
Решение:
Построим ход «крайнего» луча, упавшего на «верхнюю» полулинзу (рис. ). Каждая из половинок представляет собой линзу с тем же фокусным расстоянием и оптическим центром, что и исходная. Однако главная оптическая ось верхней половинки теперь повернулась на угол $\alpha$ (ОВ на рис.), соответственно ее фокальной плоскостью теперь является плоскость $BD$ ( $BD \perp OB$ и $OB = F$). Падающий параллельный пучок должен собраться в фокальной плоскости, и т. к. идущий через оптический центр луч не преломляется, то пучок соберется в точке его пересечения с фокальной плоскостью, т.е. в т. D. Тогда на линейке будет освещена область КС (выделено жирным) от верхней половинки и симметричная ей область - от нижней. Длину отрезка КС несложно найти из геометрических соображений.
$OD = F/ \cos \alpha; CD = F/ \cos \alpha - F; EA = (D/2) \cos \alpha$. Далее из подобия треугольников ADE и КDС получаем $KC = AE \frac{CD}{ED} = \frac{F \left ( \frac{1}{ \cos \alpha} - 1 \right )}{ \frac{F}{ \cos \alpha} + \frac{D}{2} \sin \alpha} \frac{D}{2} \cos \alpha$. После преобразований получаем $KC = \frac{D}{2} ctg \alpha \frac{ \frac{1}{ \cos \alpha} - 1}{ \frac{2}{ \sin 2 \alpha} + \frac{D}{2F}}$. Ширина освещенной области будет в 2 раза больше.
Ответ: $D ctg \alpha \frac{ \frac{1}{ \cos \alpha} - 1}{ \frac{2}{ \sin 2 \alpha} + \frac{D}{2F}}$
Тонкую собирающую линзу диаметром $D$ с фокусным расстоянием $F$ аккуратно распилили пополам по плоскости, содержащей главную оптическую ось, и каждую из полученных половинок повернули на угол а относительно «старого» положения (см. рис.). Полученный «угол» вставили в отверстие в непрозрачном экране и освещают широким параллельным пучком света, идущим параллельно оси симметрии «угла». На расстоянии $F$ от его вершины перпендикулярно его линии симметрии и направлению падающего пучка расположили линейку. Определите размер освещенной области на ней. Считайте, что линза столь тонкая, что влиянием «щели» в ней, образовавшейся в результате наклона половинок, можно пренебречь.
Решение:
Построим ход «крайнего» луча, упавшего на «верхнюю» полулинзу (рис. ). Каждая из половинок представляет собой линзу с тем же фокусным расстоянием и оптическим центром, что и исходная. Однако главная оптическая ось верхней половинки теперь повернулась на угол $\alpha$ (ОВ на рис.), соответственно ее фокальной плоскостью теперь является плоскость $BD$ ( $BD \perp OB$ и $OB = F$). Падающий параллельный пучок должен собраться в фокальной плоскости, и т. к. идущий через оптический центр луч не преломляется, то пучок соберется в точке его пересечения с фокальной плоскостью, т.е. в т. D. Тогда на линейке будет освещена область КС (выделено жирным) от верхней половинки и симметричная ей область - от нижней. Длину отрезка КС несложно найти из геометрических соображений.
$OD = F/ \cos \alpha; CD = F/ \cos \alpha - F; EA = (D/2) \cos \alpha$. Далее из подобия треугольников ADE и КDС получаем $KC = AE \frac{CD}{ED} = \frac{F \left ( \frac{1}{ \cos \alpha} - 1 \right )}{ \frac{F}{ \cos \alpha} + \frac{D}{2} \sin \alpha} \frac{D}{2} \cos \alpha$. После преобразований получаем $KC = \frac{D}{2} ctg \alpha \frac{ \frac{1}{ \cos \alpha} - 1}{ \frac{2}{ \sin 2 \alpha} + \frac{D}{2F}}$. Ширина освещенной области будет в 2 раза больше.
Ответ: $D ctg \alpha \frac{ \frac{1}{ \cos \alpha} - 1}{ \frac{2}{ \sin 2 \alpha} + \frac{D}{2F}}$
