Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2809
2017-04-15 
В открытом сосуде с ртутью плавает вниз дном цилиндрический стакан, погрузившись ровно наполовину (по высоте). Когда его вынули из сосуда, перевернули вверх дном и снова опустили плавать (аккуратно поддерживая в вертикальном положении), он погрузился на 2/3 высоты. Чему равна высота стакана, если висящий на стене лаборатории барометр показывает 750 миллиметров ртутного столба? Давлением паров ртути, толщиной стенок и дна стакана пренебречь.
Решение:
Введём обозначения: $H, S, m$ - высота, площадь дна, масса стакана; $\rho$ -плотность ртути; $p_{а}$ - атмосферное давление; $h_{п1}, h_{п2}, p_{1}, p_{2}$ - глубины погружения стакана и давления воздуха в нём в первом и втором случаях; $h_{вх}$ - высота уровня ртути, вошедшей в стакан во втором случае (рис.).
При этом:
$h_{п1} = \eta_{1} H, h_{п2} = \eta_{2}H, p_{1} = p_{а}$.
В первом случае из условия плавания получаем:
$mg = F_{A1}, F_{A1} = \rho V_{п1} g. V_{п1} = Sh_{п1}$.
$mg = \rho g Sh_{п1} \rightarrow \frac{m}{ \rho S} = \eta_{1}H$. (1)
Во втором случае:
из закона Паскаля (закона сообщающихся сосудов)
$p_{а} + \rho gh_{п2} = p_{2} + \rho gh_{вх}$; (2а)
из закона Бойля-Мариотта
$p_{2}V_{2} = p_{а}V$, (2б)
где
$V_{1} = SH$,
$V_{2} = S (H - h_{вх})$
(пренебрегаем толщиной стенок и дна!); из условия плавания
$Mg = F_{А2}$, (2в)
$M = m + m_{вх}, m_{вх} = \rho Sh_{вх}$
$F_{А2} = \rho V_{п2}g, V_{п2} = S h_{п2}$;
по определению
$ \frac{p_{а}}{ \rho g} = h_{а}$,
где $h_{а}$ - и есть атмосферное давление в единицах высоты ртутного столба. (Оно равно 750 мм. рт. ст. по условию) Из (2б) и (2а)
$p_{2} = p_{а} \frac{H}{H-h_{вх}}, p_{а} + \rho g h_{п2} = p_{а} \frac{H}{H-h_{вх}} + \rho g h_{вх} \rightarrow h_{п2} = h_{а} \frac{h_{вх}}{H-h_{вх}} + h_{вх}$. (3)
Из (2в) и (1) получаем
$(m + \rho Sh_{вх}) = \rho gSh_{п2} \rightarrow \frac{m}{ \rho S} + h_{вх} = \eta_{2}H \rightarrow h_{вх} = ( \eta_{2} - \eta_{1}) H$.
Подставляя это выражение в (3), получаем
$h_{п2} = h_{а} \frac{h_{вх}}{H-h_{вх}} + h_{вх} \rightarrow h_{} = h_{а} \frac{ ( \eta_{2} - \eta_{1})H}{H - ( \eta_{2} - \eta_{1}) H} + h_{п2} - \eta_{1}H$
$h_{а} \frac{( \eta_{2 - \eta_{1}})H}{H - ( \eta_{2} - \eta_{1})H} = \eta_{1}H \rightarrow H = \frac{ \eta_{1}^{-1}}{ ( \eta_{2} - \eta_{1})^{-1} - 1} h_{а} = \frac{2}{6-1} h_{а} \cdot 750 мм = 300 мм$.
Ответ: 30 см.
В открытом сосуде с ртутью плавает вниз дном цилиндрический стакан, погрузившись ровно наполовину (по высоте). Когда его вынули из сосуда, перевернули вверх дном и снова опустили плавать (аккуратно поддерживая в вертикальном положении), он погрузился на 2/3 высоты. Чему равна высота стакана, если висящий на стене лаборатории барометр показывает 750 миллиметров ртутного столба? Давлением паров ртути, толщиной стенок и дна стакана пренебречь.
Решение:
Введём обозначения: $H, S, m$ - высота, площадь дна, масса стакана; $\rho$ -плотность ртути; $p_{а}$ - атмосферное давление; $h_{п1}, h_{п2}, p_{1}, p_{2}$ - глубины погружения стакана и давления воздуха в нём в первом и втором случаях; $h_{вх}$ - высота уровня ртути, вошедшей в стакан во втором случае (рис.).
При этом:
$h_{п1} = \eta_{1} H, h_{п2} = \eta_{2}H, p_{1} = p_{а}$.
В первом случае из условия плавания получаем:
$mg = F_{A1}, F_{A1} = \rho V_{п1} g. V_{п1} = Sh_{п1}$.
$mg = \rho g Sh_{п1} \rightarrow \frac{m}{ \rho S} = \eta_{1}H$. (1)
Во втором случае:
из закона Паскаля (закона сообщающихся сосудов)
$p_{а} + \rho gh_{п2} = p_{2} + \rho gh_{вх}$; (2а)
из закона Бойля-Мариотта
$p_{2}V_{2} = p_{а}V$, (2б)
где
$V_{1} = SH$,
$V_{2} = S (H - h_{вх})$
(пренебрегаем толщиной стенок и дна!); из условия плавания
$Mg = F_{А2}$, (2в)
$M = m + m_{вх}, m_{вх} = \rho Sh_{вх}$
$F_{А2} = \rho V_{п2}g, V_{п2} = S h_{п2}$;
по определению
$ \frac{p_{а}}{ \rho g} = h_{а}$,
где $h_{а}$ - и есть атмосферное давление в единицах высоты ртутного столба. (Оно равно 750 мм. рт. ст. по условию) Из (2б) и (2а)
$p_{2} = p_{а} \frac{H}{H-h_{вх}}, p_{а} + \rho g h_{п2} = p_{а} \frac{H}{H-h_{вх}} + \rho g h_{вх} \rightarrow h_{п2} = h_{а} \frac{h_{вх}}{H-h_{вх}} + h_{вх}$. (3)
Из (2в) и (1) получаем
$(m + \rho Sh_{вх}) = \rho gSh_{п2} \rightarrow \frac{m}{ \rho S} + h_{вх} = \eta_{2}H \rightarrow h_{вх} = ( \eta_{2} - \eta_{1}) H$.
Подставляя это выражение в (3), получаем
$h_{п2} = h_{а} \frac{h_{вх}}{H-h_{вх}} + h_{вх} \rightarrow h_{} = h_{а} \frac{ ( \eta_{2} - \eta_{1})H}{H - ( \eta_{2} - \eta_{1}) H} + h_{п2} - \eta_{1}H$
$h_{а} \frac{( \eta_{2 - \eta_{1}})H}{H - ( \eta_{2} - \eta_{1})H} = \eta_{1}H \rightarrow H = \frac{ \eta_{1}^{-1}}{ ( \eta_{2} - \eta_{1})^{-1} - 1} h_{а} = \frac{2}{6-1} h_{а} \cdot 750 мм = 300 мм$.
Ответ: 30 см.
