Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2808
2017-04-15 
В джунглях Амазонки к расположенному высоко над полной голодных крокодилов заводью прочному горизонтальному суку прикреплена легкая прочная упругая лиана (рис.). Если лиана свисает с сука, то ее длина равна $L$, а нижний конец не достает до поверхности воды. Обезьянки, зажав в лапах нижний конец лианы, отходят по суку на расстояние $L$ от точки крепления лианы, и прыгают с него, держась за свободный конец лианы. Если обезьянка не отталкивается от сука, то минимальное расстояние от нее до воды в процессе полета составляет 2/3 расстояния от поверхности воды до конца свободно свисающей лианы, при этом максимальное удлинение лианы во время движения составляет $1/9 L$. Определите, с какой максимальной скоростью может оттолкнуться от сука обезьянка, если она не хочет попасть в зубы крокодила. Считайте, что скорость обезьянки при отталкивании направлена вертикально вниз, масса лианы много меньше массы обезьянки, лиана подчиняется закону Гука, сопротивлением воздуха и трением лианы о сук можно пренебречь, крокодилы из воды не выпрыгивают.
Решение:
Пусть жесткость лианы $k$, масса обезьянки $m$, отталкиваясь от ветки, обезьянка имеет скорость $v_{0}$, удлинение лианы в нижней точке траектории $\Delta L$.
Тогда можно приравнять полные энергии системы «обезьянка-лиана» в верхней и нижней точках траектории:
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} - mg (L + \Delta L) + \frac{k( \Delta L)^{2}}{2}$
Кроме того, в нижней точке траектории обезьянка имеет центростремительное ускорение $\frac{v^{2}}{L + \Delta L}$, которое создается силой упругости лианы $k \Delta L$ и силой тяжести $mg$, откуда получаем $\frac{mv^{2}}{2} = \frac{k \Delta L ( L + \Delta L)}{2} - \frac{mg(L + \Delta L)}{2}$. После этой подстановки закон сохранения энергии принимает вид
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = k ( \Delta L)^{2} + \frac{kL( \Delta L)}{2} - \frac{3}{2} mg (L + \Delta L)$
Теперь запишем его для двух конкретных случаев:
а) обезьянка не имеет начальной скорости, а $\Delta L = \alpha L ( \alpha = 1/9)$:
$0 = kL^{2} \alpha^{2} + \frac{kL^{2} \alpha}{2} - \frac{3}{2} mgL(1 + \alpha)$, откуда получаем $\frac{k}{m} = 3 \frac{g}{L} \frac{1 + \alpha}{ \alpha (2 \alpha + 1)}$ (1)
б) обезьянка имеет максимальную начальную скорость, т.е. касается поверхности воды в нижней точке, тогда $\Delta L = n \alpha L (n=3)$:
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = kL^{2} n^{2} \alpha^{2} + \frac{kL^{2}n \alpha}{2} - \frac{3}{2} mgL (+ n \alpha)$, или
$v_{0}^{2} = 2 \frac{k}{m} L^{2} n^{2} \alpha^{2} + \frac{k}{m} L^{2} n \alpha - 3 gL (+n \alpha)$
Подставляя сюда (1) и проводя очевидные преобразования, имеем $v_{0} = \sqrt{ \frac{18}{11} gL} \approx 1,28 \sqrt{gL}$
Ответ: $v_{0} \approx 1,28 \sqrt{gL}$
В джунглях Амазонки к расположенному высоко над полной голодных крокодилов заводью прочному горизонтальному суку прикреплена легкая прочная упругая лиана (рис.). Если лиана свисает с сука, то ее длина равна $L$, а нижний конец не достает до поверхности воды. Обезьянки, зажав в лапах нижний конец лианы, отходят по суку на расстояние $L$ от точки крепления лианы, и прыгают с него, держась за свободный конец лианы. Если обезьянка не отталкивается от сука, то минимальное расстояние от нее до воды в процессе полета составляет 2/3 расстояния от поверхности воды до конца свободно свисающей лианы, при этом максимальное удлинение лианы во время движения составляет $1/9 L$. Определите, с какой максимальной скоростью может оттолкнуться от сука обезьянка, если она не хочет попасть в зубы крокодила. Считайте, что скорость обезьянки при отталкивании направлена вертикально вниз, масса лианы много меньше массы обезьянки, лиана подчиняется закону Гука, сопротивлением воздуха и трением лианы о сук можно пренебречь, крокодилы из воды не выпрыгивают.
Решение:
Пусть жесткость лианы $k$, масса обезьянки $m$, отталкиваясь от ветки, обезьянка имеет скорость $v_{0}$, удлинение лианы в нижней точке траектории $\Delta L$.
Тогда можно приравнять полные энергии системы «обезьянка-лиана» в верхней и нижней точках траектории:
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} - mg (L + \Delta L) + \frac{k( \Delta L)^{2}}{2}$
Кроме того, в нижней точке траектории обезьянка имеет центростремительное ускорение $\frac{v^{2}}{L + \Delta L}$, которое создается силой упругости лианы $k \Delta L$ и силой тяжести $mg$, откуда получаем $\frac{mv^{2}}{2} = \frac{k \Delta L ( L + \Delta L)}{2} - \frac{mg(L + \Delta L)}{2}$. После этой подстановки закон сохранения энергии принимает вид
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = k ( \Delta L)^{2} + \frac{kL( \Delta L)}{2} - \frac{3}{2} mg (L + \Delta L)$
Теперь запишем его для двух конкретных случаев:
а) обезьянка не имеет начальной скорости, а $\Delta L = \alpha L ( \alpha = 1/9)$:
$0 = kL^{2} \alpha^{2} + \frac{kL^{2} \alpha}{2} - \frac{3}{2} mgL(1 + \alpha)$, откуда получаем $\frac{k}{m} = 3 \frac{g}{L} \frac{1 + \alpha}{ \alpha (2 \alpha + 1)}$ (1)
б) обезьянка имеет максимальную начальную скорость, т.е. касается поверхности воды в нижней точке, тогда $\Delta L = n \alpha L (n=3)$:
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = kL^{2} n^{2} \alpha^{2} + \frac{kL^{2}n \alpha}{2} - \frac{3}{2} mgL (+ n \alpha)$, или
$v_{0}^{2} = 2 \frac{k}{m} L^{2} n^{2} \alpha^{2} + \frac{k}{m} L^{2} n \alpha - 3 gL (+n \alpha)$
Подставляя сюда (1) и проводя очевидные преобразования, имеем $v_{0} = \sqrt{ \frac{18}{11} gL} \approx 1,28 \sqrt{gL}$
Ответ: $v_{0} \approx 1,28 \sqrt{gL}$
