Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2804
2017-04-15 
В бассейн с водой, имеющий форму куба, опускают куб, ребро которого в два раза меньше стороны бассейна. В равновесии куб наполовину выступает из воды, а вода в бассейне доходит ровно до половины стенок. Какая часть куба будет выступать из воды, если все линейные размеры (бассейна и куба), а также объём воды, залитой в бассейн, увеличить вдвое? Куб располагается так, что его грани параллельны граням бассейна, а отношение массы куба к его объему сохраняется при увеличении размеров.
Решение:
Обозначения см. на рис., $h_{0}$ - уровень воды в бассейне до того, как в него погрузили куб.
Первоначальный объём воды в бассейне $V_{ж} = a^{2} h_{0}$. Поскольку из условия ничего неизвестно о плотности тела, нельзя заранее сказать, плавает оно или тонет. Однако приведённых данных достаточно, чтобы сделать однозначный вывод. Рассмотрим положение тела в состоянии равновесия.
Из условия сохранения объёма жидкости $V_{ж} = a^{2}h_{1} + h_{погр} (a^{2} - a_{1}^{2})$. Тогда, учитывая условие $a_{1} = a/2$, получаем $h_{1} + h_{погр} 3/4 = h_{0}$ (1). Это условие не зависит от того, плавает куб или тонет, в последнем случае $h_{1} = 0$. Для первого куба $h_{погр} = a_{1}/2$, что определенно меньше, чем уровень воды в бассейне $a$/2, поэтому куб плавает.
Условие плавания имеет вид $\rho_{к} a_{1}^{3} = \rho_{ж} h_{погр} a_{1}^{2}$, откуда с учетом $h_{погр} = a_{1}/2$ получаем $\rho_{к}/ \rho_{ж} = 1/2$, а из (1) с учетом $h_{1} = a/2 - a_{1}/2 = a_{1}/2$ определяем начальный уровень воды $h_{0} = \frac{a}{4} + \frac{3}{4} \frac{a}{4} = \frac{7}{16} a$.
Во втором случае объёмы бассейна и куба увеличились в 8 раз, а объём воды - только в 2 раза. Поэтому высота первоначального уровня воды $\tilde{h}_{0} = \frac{7}{64} \tilde{a}$. Если куб плавает, то $\frac{ \tilde{h}_{погр}}{ \tilde{a}_{1}} = \frac{ \rho_{к}}{ \rho_{ж}} = \frac{1}{2}$, тогда из (1) $\tilde{h}_{погр} = \left ( \frac{7}{64} - \frac{3}{4} \frac{1}{2} \right ) \tilde{a} = - \frac{17}{64} \tilde{a}$. Получилась отрицательная величина, следовательно, в этом случае куб будет стоять на дне. Куб тонет, хотя его плотность меньше плотности воды! Причина заключается в том, что он «садится на мель»: воды недостаточно, чтобы обеспечить нужную величину силы Архимеда. Тогда из формулы (1) определяем выступающую над водой часть тела: $\tilde{h}_{1} = 0, \tilde{h}_{погр} = \frac{4}{3} \tilde{h}_{0} = \frac{7}{48} \tilde{a} = \frac{7}{24} \tilde{a}_{1}$. Тогда выступающая часть составляет 17/24 ребра куба.
Ответ: 17/24.
Комментарий: вообще говоря, однородный куб с плотностью, меньшей плотности воды, не будет плавать так, как показано на рис., а будет плавать «на ребре». Однако в условии задачи однородность нигде не задана, поэтому реализация указанной ситуации вполне возможна - если низ куба утяжелен. В этом случае плотность, фигурирующую в решении, нужно понимать как среднюю плотность, которая не меняется (в соответствии с условием задачи) при увеличении размеров. Требовать приведения этих рассуждений в решении излишне, однако упомянуть о них на разборе стоит.
В бассейн с водой, имеющий форму куба, опускают куб, ребро которого в два раза меньше стороны бассейна. В равновесии куб наполовину выступает из воды, а вода в бассейне доходит ровно до половины стенок. Какая часть куба будет выступать из воды, если все линейные размеры (бассейна и куба), а также объём воды, залитой в бассейн, увеличить вдвое? Куб располагается так, что его грани параллельны граням бассейна, а отношение массы куба к его объему сохраняется при увеличении размеров.
Решение:
Обозначения см. на рис., $h_{0}$ - уровень воды в бассейне до того, как в него погрузили куб.
Первоначальный объём воды в бассейне $V_{ж} = a^{2} h_{0}$. Поскольку из условия ничего неизвестно о плотности тела, нельзя заранее сказать, плавает оно или тонет. Однако приведённых данных достаточно, чтобы сделать однозначный вывод. Рассмотрим положение тела в состоянии равновесия.
Из условия сохранения объёма жидкости $V_{ж} = a^{2}h_{1} + h_{погр} (a^{2} - a_{1}^{2})$. Тогда, учитывая условие $a_{1} = a/2$, получаем $h_{1} + h_{погр} 3/4 = h_{0}$ (1). Это условие не зависит от того, плавает куб или тонет, в последнем случае $h_{1} = 0$. Для первого куба $h_{погр} = a_{1}/2$, что определенно меньше, чем уровень воды в бассейне $a$/2, поэтому куб плавает.
Условие плавания имеет вид $\rho_{к} a_{1}^{3} = \rho_{ж} h_{погр} a_{1}^{2}$, откуда с учетом $h_{погр} = a_{1}/2$ получаем $\rho_{к}/ \rho_{ж} = 1/2$, а из (1) с учетом $h_{1} = a/2 - a_{1}/2 = a_{1}/2$ определяем начальный уровень воды $h_{0} = \frac{a}{4} + \frac{3}{4} \frac{a}{4} = \frac{7}{16} a$.
Во втором случае объёмы бассейна и куба увеличились в 8 раз, а объём воды - только в 2 раза. Поэтому высота первоначального уровня воды $\tilde{h}_{0} = \frac{7}{64} \tilde{a}$. Если куб плавает, то $\frac{ \tilde{h}_{погр}}{ \tilde{a}_{1}} = \frac{ \rho_{к}}{ \rho_{ж}} = \frac{1}{2}$, тогда из (1) $\tilde{h}_{погр} = \left ( \frac{7}{64} - \frac{3}{4} \frac{1}{2} \right ) \tilde{a} = - \frac{17}{64} \tilde{a}$. Получилась отрицательная величина, следовательно, в этом случае куб будет стоять на дне. Куб тонет, хотя его плотность меньше плотности воды! Причина заключается в том, что он «садится на мель»: воды недостаточно, чтобы обеспечить нужную величину силы Архимеда. Тогда из формулы (1) определяем выступающую над водой часть тела: $\tilde{h}_{1} = 0, \tilde{h}_{погр} = \frac{4}{3} \tilde{h}_{0} = \frac{7}{48} \tilde{a} = \frac{7}{24} \tilde{a}_{1}$. Тогда выступающая часть составляет 17/24 ребра куба.
Ответ: 17/24.
Комментарий: вообще говоря, однородный куб с плотностью, меньшей плотности воды, не будет плавать так, как показано на рис., а будет плавать «на ребре». Однако в условии задачи однородность нигде не задана, поэтому реализация указанной ситуации вполне возможна - если низ куба утяжелен. В этом случае плотность, фигурирующую в решении, нужно понимать как среднюю плотность, которая не меняется (в соответствии с условием задачи) при увеличении размеров. Требовать приведения этих рассуждений в решении излишне, однако упомянуть о них на разборе стоит.
