Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2802
2017-04-15 
Общежитие Университета Городского Транспорта соединено с главным зданием трамвайной линией протяжённостью 9 км, по которой со скоростью 30 км/ч курсируют несколько трамваев. Ректорат объявил о сборе предложений по улучшению работы линии. Было представлено два варианта: группа студентов предложила провести модернизацию трамвайных путей таким образом, чтобы максимальная скорость трамвая увеличилась до 40 км/ч, а управление материального обеспечения - вместо этого приобрести ещё один трамвай, т.к. интервал движения в этом случае уменьшится на такую же величину, а расходов потребуется меньше. Сколько трамваев курсирует по линии? Сколько в среднем будет занимать у студентов дорога от общежития до университета в случае реализации каждого из предложений? Считайте, что трамвай не останавливается нигде, кроме конечных станций, и по прибытии на конечную станцию сразу же отправляется в следующий рейс.
Указание: Среднее время, затрачиваемое студентом на дорогу, можно рассчитать как среднее арифметическое максимального и минимального времени.
Решение:
Обозначим длину линии $L$, скорость движения трамваев по ней $v$, количество трамваев $N$.
В этом случае время, затрачиваемое трамваем на дорогу от одной конечной станции до другой, можно рассчитать как $\tau_{пути} = L/v$, а интервал движения трамваев - $\Delta \tau = 2L/(Nv)$. Тогда среднее время, затрачиваемое на дорогу, найдем как $\tau_{0} = \tau_{пути} + \Delta \tau/2 = L(1+1/N)/v$.
Пусть в общем случае скорость движения трамваев по линии изменилась в $\alpha$ раз, а количество вагонов - в $\beta$. Тогда новое время в пути $\tau_{пути}^{ \prime} = L/( \alpha v)$, а новый интервал $\Delta \tau^{ \prime} = 2L/( \alpha \beta Nv)$, при этом $\tau_{0}^{ \prime} = L(1 + 1/ \beta N)/( \alpha v)$.
Интервал в этом случае уменьшится в $\alpha \beta$ раз. Из условия равенства интервалов движения трамваев в первом $( \beta = (N + 1)/N, \alpha = 1)$ и втором $( \beta = 1, \alpha = 40/30)$ случае получим $(N+1)/N= \beta = \alpha = 4/3$, откуда найдём $N=3$.
Отношение средних времён в дороге до и после изменений найдём как $\gamma = \frac{ \tau_{0}}{ \tau_{0}^{ \prime}} = \alpha \beta \frac{N+1}{ \beta N + 1}$. В этом случае получаем $\gamma_{1} = 4/3, \gamma_{2} = 16/15$ - предложение студентов лучше с точки зрения экономии времени (среднее время на дорогу составит 18 мин против 22,5 мин. в случае реализации второго предложения).
Ответ: По линии курсирует 3 вагона. В случае реализации предложения студентов среднее время, затрачиваемое на дорогу, составит 18 мин., а в случае реализации предложения управления материального обеспечения - 22,5 мин.
Общежитие Университета Городского Транспорта соединено с главным зданием трамвайной линией протяжённостью 9 км, по которой со скоростью 30 км/ч курсируют несколько трамваев. Ректорат объявил о сборе предложений по улучшению работы линии. Было представлено два варианта: группа студентов предложила провести модернизацию трамвайных путей таким образом, чтобы максимальная скорость трамвая увеличилась до 40 км/ч, а управление материального обеспечения - вместо этого приобрести ещё один трамвай, т.к. интервал движения в этом случае уменьшится на такую же величину, а расходов потребуется меньше. Сколько трамваев курсирует по линии? Сколько в среднем будет занимать у студентов дорога от общежития до университета в случае реализации каждого из предложений? Считайте, что трамвай не останавливается нигде, кроме конечных станций, и по прибытии на конечную станцию сразу же отправляется в следующий рейс.
Указание: Среднее время, затрачиваемое студентом на дорогу, можно рассчитать как среднее арифметическое максимального и минимального времени.
Решение:
Обозначим длину линии $L$, скорость движения трамваев по ней $v$, количество трамваев $N$.
В этом случае время, затрачиваемое трамваем на дорогу от одной конечной станции до другой, можно рассчитать как $\tau_{пути} = L/v$, а интервал движения трамваев - $\Delta \tau = 2L/(Nv)$. Тогда среднее время, затрачиваемое на дорогу, найдем как $\tau_{0} = \tau_{пути} + \Delta \tau/2 = L(1+1/N)/v$.
Пусть в общем случае скорость движения трамваев по линии изменилась в $\alpha$ раз, а количество вагонов - в $\beta$. Тогда новое время в пути $\tau_{пути}^{ \prime} = L/( \alpha v)$, а новый интервал $\Delta \tau^{ \prime} = 2L/( \alpha \beta Nv)$, при этом $\tau_{0}^{ \prime} = L(1 + 1/ \beta N)/( \alpha v)$.
Интервал в этом случае уменьшится в $\alpha \beta$ раз. Из условия равенства интервалов движения трамваев в первом $( \beta = (N + 1)/N, \alpha = 1)$ и втором $( \beta = 1, \alpha = 40/30)$ случае получим $(N+1)/N= \beta = \alpha = 4/3$, откуда найдём $N=3$.
Отношение средних времён в дороге до и после изменений найдём как $\gamma = \frac{ \tau_{0}}{ \tau_{0}^{ \prime}} = \alpha \beta \frac{N+1}{ \beta N + 1}$. В этом случае получаем $\gamma_{1} = 4/3, \gamma_{2} = 16/15$ - предложение студентов лучше с точки зрения экономии времени (среднее время на дорогу составит 18 мин против 22,5 мин. в случае реализации второго предложения).
Ответ: По линии курсирует 3 вагона. В случае реализации предложения студентов среднее время, затрачиваемое на дорогу, составит 18 мин., а в случае реализации предложения управления материального обеспечения - 22,5 мин.
