Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2799
2017-04-13 
Четыре маленьких стеклянных бусинки нанизаны на гладкий непроводящий стержень и соединены между собой в цепочку двумя одинаковыми нитями длины $L$ каждая и одной пружиной жесткостью $k$, длина которой в нерастянутом состоянии также равна $L$ (рис.). Оцените силу натяжения пружины после того, как шарикам сообщили одноименные заряды $Q, 2Q, 3Q$ и $4Q$ соответственно, если известно, что $kL = 200 F_{0}$, где $F_{0} = \frac{Q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} L^{2}} = 10 Н$.
Примечание: рекомендуется использовать известное соотношение $\frac{1}{(1+ \alpha)^{n}} \approx 1 - n \alpha$, справедливое при $\alpha \ll 1$.
Решение:
Сила натяжения пружины компенсирует суммарную кулоновскую силу отталкивания, действующую на два левых (или два правых) заряда со стороны двух правых (или двух левых) зарядов. С учетом того, что $F_{12} = F_{21}, F_{34} = F_{43}$, условие равновесия системы примет вид ($\Delta L$ - растяжение пружины): $F_{13} + F_{14} + F_{23} + F_{24} = T, T = k \Delta L$.
Подставим значения обозначенных сил:
$\frac{Q_{1}Q_{3}}{(2L + \Delta L)^{2}} + \frac{Q_{1}Q_{4}}{(3L + \Delta L)^{2}} + \frac{Q_{2}Q_{3}}{(L + \Delta L)^{2}} + \frac{Q_{2}Q_{4}}{(2L + \Delta L)^{2}} = k \Delta L \cdot 4 \pi \epsilon_{0}$ (*)
Учтем правило приближенных вычислений:
$\frac{Q_{1}Q_{3}}{4L^{2}} \left ( 1 - 2 \frac{ \Delta L}{2L} \right ) + \frac{Q_{1}Q_{4}}{9L^{2}} \left ( 1 - 2 \frac{ \Delta L}{3L} \right ) + \frac{Q_{2}Q_{3}}{L^{2}} \left ( 1 - 2 \frac{ \Delta L}{2L} \right ) + \frac{Q_{2}Q_{4}}{4L^{2}} \left ( 1 - 2 \frac{ \Delta L}{2L} \right ) = k \Delta L \cdot 4 \pi \epsilon_{0}$,
или $A - B \cdot \Delta L = k \Delta L \cdot 4 \pi \epsilon_{0}$, где $A = \frac{Q_{1}Q_{3}}{4L^{2}} + \frac{Q_{1}Q_{4}}{9L^{2}} + \frac{Q_{2}Q_{3}}{L^{2}} + \frac{Q_{2}Q_{4}}{4L^{2}} = \frac{331}{36} \frac{Q^{2}}{L^{2}}, B = \frac{Q^{2}}{L^{3}} \left ( \frac{1}{4} + \frac{2}{27} + \frac{2}{1} + \frac{1}{4} \right ) = \frac{170}{108} \frac{Q^{2}}{L^{3}}$.
Отсюда находим $\Delta L = \frac{331L}{36 \left ( \frac{170}{108} + \frac{kL}{F_{0}} \right )} \approx \frac{331L}{36 \cdot 200} \approx \frac{L}{20}$, тогда $T \approx \frac{kL}{20} \approx 10F_{0} \approx 100 Н$.
Заметим, что значение удлинения пружины действительно получилось много (в 20 раз) меньше ее длины, поэтому использование правила приближенных вычислений для преобразования (*) корректно.
Ответ: 100 Н
Четыре маленьких стеклянных бусинки нанизаны на гладкий непроводящий стержень и соединены между собой в цепочку двумя одинаковыми нитями длины $L$ каждая и одной пружиной жесткостью $k$, длина которой в нерастянутом состоянии также равна $L$ (рис.). Оцените силу натяжения пружины после того, как шарикам сообщили одноименные заряды $Q, 2Q, 3Q$ и $4Q$ соответственно, если известно, что $kL = 200 F_{0}$, где $F_{0} = \frac{Q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} L^{2}} = 10 Н$.
Примечание: рекомендуется использовать известное соотношение $\frac{1}{(1+ \alpha)^{n}} \approx 1 - n \alpha$, справедливое при $\alpha \ll 1$.
Решение:
Сила натяжения пружины компенсирует суммарную кулоновскую силу отталкивания, действующую на два левых (или два правых) заряда со стороны двух правых (или двух левых) зарядов. С учетом того, что $F_{12} = F_{21}, F_{34} = F_{43}$, условие равновесия системы примет вид ($\Delta L$ - растяжение пружины): $F_{13} + F_{14} + F_{23} + F_{24} = T, T = k \Delta L$.
Подставим значения обозначенных сил:
$\frac{Q_{1}Q_{3}}{(2L + \Delta L)^{2}} + \frac{Q_{1}Q_{4}}{(3L + \Delta L)^{2}} + \frac{Q_{2}Q_{3}}{(L + \Delta L)^{2}} + \frac{Q_{2}Q_{4}}{(2L + \Delta L)^{2}} = k \Delta L \cdot 4 \pi \epsilon_{0}$ (*)
Учтем правило приближенных вычислений:
$\frac{Q_{1}Q_{3}}{4L^{2}} \left ( 1 - 2 \frac{ \Delta L}{2L} \right ) + \frac{Q_{1}Q_{4}}{9L^{2}} \left ( 1 - 2 \frac{ \Delta L}{3L} \right ) + \frac{Q_{2}Q_{3}}{L^{2}} \left ( 1 - 2 \frac{ \Delta L}{2L} \right ) + \frac{Q_{2}Q_{4}}{4L^{2}} \left ( 1 - 2 \frac{ \Delta L}{2L} \right ) = k \Delta L \cdot 4 \pi \epsilon_{0}$,
или $A - B \cdot \Delta L = k \Delta L \cdot 4 \pi \epsilon_{0}$, где $A = \frac{Q_{1}Q_{3}}{4L^{2}} + \frac{Q_{1}Q_{4}}{9L^{2}} + \frac{Q_{2}Q_{3}}{L^{2}} + \frac{Q_{2}Q_{4}}{4L^{2}} = \frac{331}{36} \frac{Q^{2}}{L^{2}}, B = \frac{Q^{2}}{L^{3}} \left ( \frac{1}{4} + \frac{2}{27} + \frac{2}{1} + \frac{1}{4} \right ) = \frac{170}{108} \frac{Q^{2}}{L^{3}}$.
Отсюда находим $\Delta L = \frac{331L}{36 \left ( \frac{170}{108} + \frac{kL}{F_{0}} \right )} \approx \frac{331L}{36 \cdot 200} \approx \frac{L}{20}$, тогда $T \approx \frac{kL}{20} \approx 10F_{0} \approx 100 Н$.
Заметим, что значение удлинения пружины действительно получилось много (в 20 раз) меньше ее длины, поэтому использование правила приближенных вычислений для преобразования (*) корректно.
Ответ: 100 Н
