Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2798
2017-04-13 
На диаграмме $(p,T)$ приведен вид некоторого процесса, проведенного с идеальным одноатомным газом (рис.). Изобразите график процесса 1-2-3-1 на диаграмме $(p,V)$ и рассчитайте изменение внутренней энергии газа в этом процессе, если известно, что на участке 1-2 объем содержащего газ сосуда не изменялся, первоначальное количество газа равно 2 моль, а в процессах 2-3 и 3-1 количество газа не менялось. Температуру $T_{0}$ считайте известной.
Решение:
Понятно, что в процессе 1-2 изменяется количество газа, т.к. если бы оно не изменялось, то в соответствии с законом Гей-Люссака давление было бы прямо пропорционально температуре, что не выполняется.
Запишем уравнения состояния для каждой из точек:
Точка 1: $4p_{0}V_{1} = \nu_{1} RT_{0}$, откуда $V_{1} = \frac{ \nu_{1} RT_{0}}{ 4p_{0}}$
Точка 2: $p_{0}V_{1} = 4 \nu_{2} RT_{0}$, или $p_{0} \frac{ \nu_{1} RT_{0}}{4p_{0}} = 4 \nu_{2} RT_{0}$, откуда находим отношение количеств вещества в начале и конце процесса 1-2:
$\nu_{2} = \frac{ \nu_{2}}{16}$
Точка 3: $p_{0}V_{3} = \nu_{2} RT_{0}$, или $p_{0}V_{3} = \frac{ \nu_{1} RT_{0}}{16}$, или $V_{3} = \frac{ \nu_{1}RT_{0}}{16p_{0}} = \frac{V_{1}}{4}$.
Точка $1^{ \prime}$ (конечная точка процесса): $4 p_{0}V_{1}^{ \prime} = \nu_{2} RT_{0}$, или $V_{1}^{ \prime} = \frac{V_{1}}{16}$.
График процесса в координатах $(p,V)$ приведен на рис. Видно, что процесс незамкнутый, поэтому внутренняя энергия газа в начальном и конечном состояниях не совпадают за счет изменения количества вещества. Определим изменение внутренней энергии: $\Delta U = \frac{3}{2} RT_{0} ( \nu_{1} - \nu_{2}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{15}{16} RT_{0} = \frac{45}{32} RT_{0}$
Ответ: $\frac{45}{32} RT_{0}$
Комментарий: Задача иллюстрирует тот факт, что изменение внутренней энергии и изменение температуры не всегда пропорциональны друг другу. Другой иллюстрацией является задача о нагреве комнаты сообщением ей некоторого количества теплоты. В этой задаче масса газа тоже уменьшается - за счет условия постоянства давления (выравнивания давления через негерметично закрытую дверь), при этом температура воздуха в комнате повышается, а его внутренняя энергия остается прежней.
На диаграмме $(p,T)$ приведен вид некоторого процесса, проведенного с идеальным одноатомным газом (рис.). Изобразите график процесса 1-2-3-1 на диаграмме $(p,V)$ и рассчитайте изменение внутренней энергии газа в этом процессе, если известно, что на участке 1-2 объем содержащего газ сосуда не изменялся, первоначальное количество газа равно 2 моль, а в процессах 2-3 и 3-1 количество газа не менялось. Температуру $T_{0}$ считайте известной.
Решение:
Понятно, что в процессе 1-2 изменяется количество газа, т.к. если бы оно не изменялось, то в соответствии с законом Гей-Люссака давление было бы прямо пропорционально температуре, что не выполняется.
Запишем уравнения состояния для каждой из точек:
Точка 1: $4p_{0}V_{1} = \nu_{1} RT_{0}$, откуда $V_{1} = \frac{ \nu_{1} RT_{0}}{ 4p_{0}}$
Точка 2: $p_{0}V_{1} = 4 \nu_{2} RT_{0}$, или $p_{0} \frac{ \nu_{1} RT_{0}}{4p_{0}} = 4 \nu_{2} RT_{0}$, откуда находим отношение количеств вещества в начале и конце процесса 1-2:
$\nu_{2} = \frac{ \nu_{2}}{16}$
Точка 3: $p_{0}V_{3} = \nu_{2} RT_{0}$, или $p_{0}V_{3} = \frac{ \nu_{1} RT_{0}}{16}$, или $V_{3} = \frac{ \nu_{1}RT_{0}}{16p_{0}} = \frac{V_{1}}{4}$.
Точка $1^{ \prime}$ (конечная точка процесса): $4 p_{0}V_{1}^{ \prime} = \nu_{2} RT_{0}$, или $V_{1}^{ \prime} = \frac{V_{1}}{16}$.
График процесса в координатах $(p,V)$ приведен на рис. Видно, что процесс незамкнутый, поэтому внутренняя энергия газа в начальном и конечном состояниях не совпадают за счет изменения количества вещества. Определим изменение внутренней энергии: $\Delta U = \frac{3}{2} RT_{0} ( \nu_{1} - \nu_{2}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{15}{16} RT_{0} = \frac{45}{32} RT_{0}$
Ответ: $\frac{45}{32} RT_{0}$
Комментарий: Задача иллюстрирует тот факт, что изменение внутренней энергии и изменение температуры не всегда пропорциональны друг другу. Другой иллюстрацией является задача о нагреве комнаты сообщением ей некоторого количества теплоты. В этой задаче масса газа тоже уменьшается - за счет условия постоянства давления (выравнивания давления через негерметично закрытую дверь), при этом температура воздуха в комнате повышается, а его внутренняя энергия остается прежней.
