Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2794
2017-04-13 
Экспериментальная установка представляет собой куб, разделенный теплоизолирующими стенками на 64 одинаковых отсека, каждый из которых заполнен 2,5 кг воды при температуре $50^{ \circ} С$. Далее будем нумеровать отсеки как клетки шахматной доски. В процессе эксперимента отсеку А1 сообщают 1 мДж энергии, а у отсека В1 забирают 1 мДж энергии. Эту процедуру проводят со всеми клетками доски, обходя их в порядке $A1 - B1 - \cdots - H1 - H2 - G2 - \cdots - A2 - A3 - \cdots - A8$ (рис.), однако с каждой парой клеток количество сообщаемой/забираемой теплоты удваивается. Определите наборы «клеток», у которых температура отличается меньше, чем на $2^{ \circ} С$. Укажите агрегатное состояние воды в каждой «клетке», а также максимальную и минимальную температуру воды и «клетки», в которых они достигаются. Удельные теплоемкости воды $4200 Дж/(кг \cdot К)$, льда $1360 Дж/(кг \cdot К)$, пара при данных условиях $2130 Дж/(кг \cdot К)$, удельная теплота плавления льда $3,32 \cdot 10^{5} Дж/кг$, удельная теплота парообразования $2,26 \cdot 10^{5} Дж/кг$. Теплоемкостью стенок пренебречь, перегретая и переохлажденная вода образовываться не может.
Примечание: термин «вода» в вопросе данной задачи понимается в химическом смысле, т.е. лед и пар также считаются водой.
Решение:
Чтобы нагреть воду в одном отсеке на $1^{ \circ}С$, нужно сообщить ей $2,5 \cdot 1 \cdot 4200 = 10,5 кДж$ энергии, т.е. примерно в $10^{7}$ раз больше, чем «квант» тепла в 1 мДж, сообщенный клетке А1. Перенумеруем черные клетки в порядке обхода (т.е. клетка А1 имеет номер 1, С1 - номер 2 и т.д.), тогда $n$-я черная клетка получает $2^{n-1}$ мДж тепла. Т.к. $2^{23} \cdot > 10^{3}$, то $2^{24} > 10^{7}$, поэтому черной клетке с номером 24 (т.е. Н6) сообщают $2^{23} \cdot 1 мДж = 8,388 кДж$, и температуры всех клеток с А1 по Н7 (в т.ч. и белых, т.к. для охлаждения рассуждения аналогичны) будут отличаться менее, чем на $1^{ \circ} С$ от $50^{ \circ} С$. Клетке же с номером 25 (А7) сообщают $2^{24} \cdot 1 мДж = 16,777 кДж$, и в результате ее температура повысится на $1,6^{ \circ} С$, а температура клетки В7 понизится на $1,6^{ \circ} С$. Соответственно в клетках С7, Е7, G7 и Н8 температура будет выше $50^{ \circ} С$ на $3,2^{ \circ} С, 6,4^{ \circ} С, 12,8^{ \circ} С, 25,6^{ \circ} С$, а в клетках D7, F7, Н7 и G8 - ниже на $3,2^{ \circ} С, 6,4^{ \circ} С, 12,8^{ \circ} С, 25,6^{ \circ} С$ соответственно. Таким образом, во всех отсеках с А1 по G8 будет вода. Клетке F8 сообщают $2^{ 29} \cdot 1 мДж = 536,87 кДж$ энергии, этого хватит на нагрев до $100^{ \circ} С$ и испарение части воды, поэтому в клетке F8 будут вода и пар при $100^{ \circ} С$. Аналогично у клетки E8 отнимают 536,87 кДж энергии, поэтому в ней будут вода и лед при $0^{ \circ} С$. Клетке D8 сообщают $2^{30} \cdot 1 мДж = 1073,74 кДж$. На нагрев воды до $100^{ \circ} С$ требуется 525 кДж, на полное испарение всей воды - еще 5650 кДж, поэтому вся вода испариться не сможет и в клетке D8 будут вода и пар при $100^{ \circ} С$. Точно также вода и пар при $100^{ \circ} С$ будут в клетке B8, которой сообщают $2^{31} \cdot 1 мДж = 2147,50 кДж$. Чтобы заморозить всю воду в одном отсеке, необходимо отобрать 830 кДж энергии, поэтому в клетке С8, у которой отбирают 1073,74 кДж энергии, вся вода не замерзнет ( с учетом затрат на ее охлаждение) и в ней будет температура $0^{ \circ} С$. А в клетке А8, у которой отбирают 2147,50 кДж, вся вода замерзнет, а образовавшийся лед охладится до $- 233^{ \circ} С$.
Ответ: в клетках A1-G8 - вода, в клетках F8, D8, В8 - вода и пар, Е8, С8 -вода и лед, А8 - лед. Минимальная температура $- 233^{ \circ} С$ (А8), максимальная $- 100^{ \circ} С$ (F8, D8, В8). Наборы клеток с близкими температурами: А1-Н7 (около $50^{ \circ} С$). F8, D8, В8 - $100^{ \circ} С$, Е8, С8 - $0^{ \circ} С$.
Примечание: в качестве удельной теплоемкости льда приведено среднее арифметическое значений теплоемкостей при $0^{ \circ} С$ и $- 200^{ \circ} С$.
Экспериментальная установка представляет собой куб, разделенный теплоизолирующими стенками на 64 одинаковых отсека, каждый из которых заполнен 2,5 кг воды при температуре $50^{ \circ} С$. Далее будем нумеровать отсеки как клетки шахматной доски. В процессе эксперимента отсеку А1 сообщают 1 мДж энергии, а у отсека В1 забирают 1 мДж энергии. Эту процедуру проводят со всеми клетками доски, обходя их в порядке $A1 - B1 - \cdots - H1 - H2 - G2 - \cdots - A2 - A3 - \cdots - A8$ (рис.), однако с каждой парой клеток количество сообщаемой/забираемой теплоты удваивается. Определите наборы «клеток», у которых температура отличается меньше, чем на $2^{ \circ} С$. Укажите агрегатное состояние воды в каждой «клетке», а также максимальную и минимальную температуру воды и «клетки», в которых они достигаются. Удельные теплоемкости воды $4200 Дж/(кг \cdot К)$, льда $1360 Дж/(кг \cdot К)$, пара при данных условиях $2130 Дж/(кг \cdot К)$, удельная теплота плавления льда $3,32 \cdot 10^{5} Дж/кг$, удельная теплота парообразования $2,26 \cdot 10^{5} Дж/кг$. Теплоемкостью стенок пренебречь, перегретая и переохлажденная вода образовываться не может.
Примечание: термин «вода» в вопросе данной задачи понимается в химическом смысле, т.е. лед и пар также считаются водой.
Решение:
Чтобы нагреть воду в одном отсеке на $1^{ \circ}С$, нужно сообщить ей $2,5 \cdot 1 \cdot 4200 = 10,5 кДж$ энергии, т.е. примерно в $10^{7}$ раз больше, чем «квант» тепла в 1 мДж, сообщенный клетке А1. Перенумеруем черные клетки в порядке обхода (т.е. клетка А1 имеет номер 1, С1 - номер 2 и т.д.), тогда $n$-я черная клетка получает $2^{n-1}$ мДж тепла. Т.к. $2^{23} \cdot > 10^{3}$, то $2^{24} > 10^{7}$, поэтому черной клетке с номером 24 (т.е. Н6) сообщают $2^{23} \cdot 1 мДж = 8,388 кДж$, и температуры всех клеток с А1 по Н7 (в т.ч. и белых, т.к. для охлаждения рассуждения аналогичны) будут отличаться менее, чем на $1^{ \circ} С$ от $50^{ \circ} С$. Клетке же с номером 25 (А7) сообщают $2^{24} \cdot 1 мДж = 16,777 кДж$, и в результате ее температура повысится на $1,6^{ \circ} С$, а температура клетки В7 понизится на $1,6^{ \circ} С$. Соответственно в клетках С7, Е7, G7 и Н8 температура будет выше $50^{ \circ} С$ на $3,2^{ \circ} С, 6,4^{ \circ} С, 12,8^{ \circ} С, 25,6^{ \circ} С$, а в клетках D7, F7, Н7 и G8 - ниже на $3,2^{ \circ} С, 6,4^{ \circ} С, 12,8^{ \circ} С, 25,6^{ \circ} С$ соответственно. Таким образом, во всех отсеках с А1 по G8 будет вода. Клетке F8 сообщают $2^{ 29} \cdot 1 мДж = 536,87 кДж$ энергии, этого хватит на нагрев до $100^{ \circ} С$ и испарение части воды, поэтому в клетке F8 будут вода и пар при $100^{ \circ} С$. Аналогично у клетки E8 отнимают 536,87 кДж энергии, поэтому в ней будут вода и лед при $0^{ \circ} С$. Клетке D8 сообщают $2^{30} \cdot 1 мДж = 1073,74 кДж$. На нагрев воды до $100^{ \circ} С$ требуется 525 кДж, на полное испарение всей воды - еще 5650 кДж, поэтому вся вода испариться не сможет и в клетке D8 будут вода и пар при $100^{ \circ} С$. Точно также вода и пар при $100^{ \circ} С$ будут в клетке B8, которой сообщают $2^{31} \cdot 1 мДж = 2147,50 кДж$. Чтобы заморозить всю воду в одном отсеке, необходимо отобрать 830 кДж энергии, поэтому в клетке С8, у которой отбирают 1073,74 кДж энергии, вся вода не замерзнет ( с учетом затрат на ее охлаждение) и в ней будет температура $0^{ \circ} С$. А в клетке А8, у которой отбирают 2147,50 кДж, вся вода замерзнет, а образовавшийся лед охладится до $- 233^{ \circ} С$.
Ответ: в клетках A1-G8 - вода, в клетках F8, D8, В8 - вода и пар, Е8, С8 -вода и лед, А8 - лед. Минимальная температура $- 233^{ \circ} С$ (А8), максимальная $- 100^{ \circ} С$ (F8, D8, В8). Наборы клеток с близкими температурами: А1-Н7 (около $50^{ \circ} С$). F8, D8, В8 - $100^{ \circ} С$, Е8, С8 - $0^{ \circ} С$.
Примечание: в качестве удельной теплоемкости льда приведено среднее арифметическое значений теплоемкостей при $0^{ \circ} С$ и $- 200^{ \circ} С$.
