Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2793
2017-04-13 
Жесткая спица длиной $L$ с грузом $m$ на одном из концов жестко прикреплена другим концом к прочному вертикальному вращающемуся валу и составляет с ним угол $\alpha$ (рис.). Найдите зависимость отгибающей (направленной перпендикулярно спице) силы, действующей на ее конец около шарика, от частоты вращения вала. При какой частоте вращения на спицу будет действовать только растягивающая (направленная вдоль спицы) сила?
Решение:
При отсутствии вращения вала сила $m \vec{g}$, действующая на груз вертикально вниз, уравновешивается силой реакции спицы $\vec{F}$, направленной строго вверх, при этом горизонтальная составляющая результирующей силы равна нулю. При наличии вращения сила $\vec{F}$, действующая на груз, изменяется (теперь она обозначена $\vec{F}^{ \prime}$), и поворачивается, образуя угол $\beta$ с вертикалью. Это приводит к появлению горизонтальной составляющей $F^{ \prime} \sin \beta$, которая и создает нормальное ускорение груза $a_{n} = \omega^{2} L \sin \alpha$, поэтому: $m \omega^{2} L \sin \alpha = F^{ \prime} \sin \beta$ (1).
Эта горизонтальная составляющая силы $F$ увеличивается с увеличением угловой скорости вращения, тогда как ее вертикальная составляющая остается неизменной:
$mg = F^{ \prime} \cos \beta$ (2).
На рис. изображены два значения силы $\vec{F}^{ \prime}$ и $\vec{F}^{ \prime \prime}$ при различных угловых скоростях вращения. Видно, что угол наклона вектора силы увеличивается и в некоторый момент становится равным углу наклона спицы ($\beta = \alpha$).
По третьему закону Ньютона сила, действующая на конец спицы (обозначим ее $\vec{R}$), равна силе $\vec{F}$ по модулю, но направлена в противоположную сторону. Эту силу удобно разложить на две составляющие: $R_{L} = F^{ \prime} \cos \alpha$, действующая вдоль стержня (растягивающая) и $R_{ \tau} = F^{ \prime} \sin \alpha$ - действующая поперек стержня (отгибающая).
Видно, что при увеличении частоты вращения продольная составляющая силы реакции монотонно увеличивается. Когда сила реакции действует вдоль спицы ($\beta = \alpha$), она имеет лишь растягивающую составляющую, а поперечная составляющая изменяет свой знак: от прижимающей стержень к оси - до отгибающей. При этом максимальное значение прижимающей силы равно $R_{ \tau} = mg \sin \alpha $ при $\omega = 0$. Далее сила уменьшается до нуля ($\beta = \alpha$) и начинает действовать в сторону отгибания стержня, увеличиваясь неограниченно, реально - до разрушения стержня.
Из геометрии видно, что поперечная (отгибающая) сила: $F_{ \tau} = F^{ \prime} \sin ( \beta - \alpha)$, (3), а продольная (растягивающая): $F_{L} = F^{ \prime} \cos ( \beta - \alpha)$ (4)
Теперь перейдем к ответам на вопросы задачи.
Значение модуля силы $F^{ \prime}$ найдем из соотношения (2): $F^{ \prime} = \frac{mg}{ \cos \beta}$, а значение угла $\beta$ можно определить из (1) и (2) $\beta = arctg \left ( \frac{ \omega^{2} L \sin \alpha}{g} \right )$. Отсюда, используя (3), получаем ответ на первый вопрос задачи:
$F_{ \tau} = \frac{mg}{ \cos \beta} \sin ( \beta - \alpha) = mg \sin \alpha \left ( 1 - \frac{ \omega^{2} L}{g} \cos \alpha \right )$.
Ответ на второй вопрос получается из условия $F_{ \tau} = 0: \omega = \sqrt{ \frac{g}{L \cos \alpha}}$
Ответ: $F_{ \tau} = mg \sin \alpha \left ( 1 - \frac{ \omega^{2} L}{g} \cos \alpha \right ), \omega = \sqrt{ \frac{g}{L \cos \alpha}}$
Жесткая спица длиной $L$ с грузом $m$ на одном из концов жестко прикреплена другим концом к прочному вертикальному вращающемуся валу и составляет с ним угол $\alpha$ (рис.). Найдите зависимость отгибающей (направленной перпендикулярно спице) силы, действующей на ее конец около шарика, от частоты вращения вала. При какой частоте вращения на спицу будет действовать только растягивающая (направленная вдоль спицы) сила?
Решение:
При отсутствии вращения вала сила $m \vec{g}$, действующая на груз вертикально вниз, уравновешивается силой реакции спицы $\vec{F}$, направленной строго вверх, при этом горизонтальная составляющая результирующей силы равна нулю. При наличии вращения сила $\vec{F}$, действующая на груз, изменяется (теперь она обозначена $\vec{F}^{ \prime}$), и поворачивается, образуя угол $\beta$ с вертикалью. Это приводит к появлению горизонтальной составляющей $F^{ \prime} \sin \beta$, которая и создает нормальное ускорение груза $a_{n} = \omega^{2} L \sin \alpha$, поэтому: $m \omega^{2} L \sin \alpha = F^{ \prime} \sin \beta$ (1).
Эта горизонтальная составляющая силы $F$ увеличивается с увеличением угловой скорости вращения, тогда как ее вертикальная составляющая остается неизменной:
$mg = F^{ \prime} \cos \beta$ (2).
На рис. изображены два значения силы $\vec{F}^{ \prime}$ и $\vec{F}^{ \prime \prime}$ при различных угловых скоростях вращения. Видно, что угол наклона вектора силы увеличивается и в некоторый момент становится равным углу наклона спицы ($\beta = \alpha$).
По третьему закону Ньютона сила, действующая на конец спицы (обозначим ее $\vec{R}$), равна силе $\vec{F}$ по модулю, но направлена в противоположную сторону. Эту силу удобно разложить на две составляющие: $R_{L} = F^{ \prime} \cos \alpha$, действующая вдоль стержня (растягивающая) и $R_{ \tau} = F^{ \prime} \sin \alpha$ - действующая поперек стержня (отгибающая).
Видно, что при увеличении частоты вращения продольная составляющая силы реакции монотонно увеличивается. Когда сила реакции действует вдоль спицы ($\beta = \alpha$), она имеет лишь растягивающую составляющую, а поперечная составляющая изменяет свой знак: от прижимающей стержень к оси - до отгибающей. При этом максимальное значение прижимающей силы равно $R_{ \tau} = mg \sin \alpha $ при $\omega = 0$. Далее сила уменьшается до нуля ($\beta = \alpha$) и начинает действовать в сторону отгибания стержня, увеличиваясь неограниченно, реально - до разрушения стержня.
Из геометрии видно, что поперечная (отгибающая) сила: $F_{ \tau} = F^{ \prime} \sin ( \beta - \alpha)$, (3), а продольная (растягивающая): $F_{L} = F^{ \prime} \cos ( \beta - \alpha)$ (4)
Теперь перейдем к ответам на вопросы задачи.
Значение модуля силы $F^{ \prime}$ найдем из соотношения (2): $F^{ \prime} = \frac{mg}{ \cos \beta}$, а значение угла $\beta$ можно определить из (1) и (2) $\beta = arctg \left ( \frac{ \omega^{2} L \sin \alpha}{g} \right )$. Отсюда, используя (3), получаем ответ на первый вопрос задачи:
$F_{ \tau} = \frac{mg}{ \cos \beta} \sin ( \beta - \alpha) = mg \sin \alpha \left ( 1 - \frac{ \omega^{2} L}{g} \cos \alpha \right )$.
Ответ на второй вопрос получается из условия $F_{ \tau} = 0: \omega = \sqrt{ \frac{g}{L \cos \alpha}}$
Ответ: $F_{ \tau} = mg \sin \alpha \left ( 1 - \frac{ \omega^{2} L}{g} \cos \alpha \right ), \omega = \sqrt{ \frac{g}{L \cos \alpha}}$
