Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 278
2014-05-31 
Два длинных вертикальных провода соединены в верхней части посредством индуктивности $L$. Между проводами горизонтально расположен металлический стержень, который может, касаясь проводов без трения скользить под действием силы тяжести (рис.). Масса этого стержня $m$. Длина стержня и расстояние между проводами $l$. Определите характер движения стержня при существовании магнитного поля с индукцией $\bar{B}$, направленного по нормали к системе Сопротивлением стержня и проводов можно пренебречь.
Решение:
Пусть в начальный момент скорость стержня и ток в контуре равны нулю. Направим ось $Ox$ вертикально вниз и начало отсчета на ней поместим против положения, занимаемого стержнем в момент $t = 0$. Под действием силы тяжести стержень
приходит в движение. За малое время $\Delta t$ стержень проходит путь
$\Delta x = x$. При этом в контуре возникает ЭДС индукции
$\cal{E}=\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=\frac{B \Delta S}{\Delta t}=\frac{B l \Delta x}{\Delta t}$. (1)
и по цепи начинает течь ток. На индуктивности $C$ падает напряжение,
$U=L \frac{\Delta I}{\Delta t}$. (2)
Гик как сопротивления стержня и проводов пренебрежимо малы, то $U= \cal{E}$. Приравнивая правые части (1) и (2), получаем
$\frac{Bl \Delta x}{\Delta t}=L \frac{\Delta I}{\Delta t}$,
или
$Dl \Delta x = L \Delta I$. (3)
На стержень с током действует сила Ампера
$F_{A}=Bl \Delta I$. (4)
Из (3) и (4) находим
$F_{A}=B^{2}l^{2}x/L$.
При смещении стержня от начального положения вниз сила $F_{A}$ будет направлена вверх. Это следует из закона сохранения энергии. При движении стержня вниз его потенциальная энергия частично переходит в кинетическую и частично - в энергию магнитного поля катушки индуктивности. Это означает, что скорость падения стержня в магнитном поле меньше скорости его падения только поле силы тяжести. Следовательно, сила $F_{A}$ совершает работу против силы тяжести и направлена вверх. Для результирующей силы $F$, действующей на стержень, имеем
$F=mg-F_{A}=mg- \frac{B^{2}l^{2}x}{L}=-\frac{B^{2}l^{2}}{L}(x-x_{0})$, (5)
Координату $x_{0}$, определяемую формулой
$x_{0}=\frac{Lmg}{B^{2}l^{2}}$, (6)
можно трактовать как координату некоторого “равновесного положения стержня. Из формулы (5) видно, что при отклонении стержня от этого положения на небольшое расстояние $\Delta x = x – x_{0}$ на него действует сила $F$, прямо пропорциональная величине отклонения $\Delta x$ и направленная в сторону положения "равновесия". Как известно, под действием силы $F = - k \Delta x$ тело массой $m$ возникают гармонические колебания с периодом
$T=2 \pi \sqrt{m/k}$.
В нашем случае $k=B^{2}l^{2}/L$. Таким образом, стержень будет совершать около точки с координатой $x_{0}$ (6) малые гармонические колебания с периодом
$T=2 \pi \frac{\sqrt{mL}}{Bl}$.
В момент прохождения положения "равновесия" скорость стержня максимальна. Нулевую скорость он имеет в начальном положении $(x = 0)$. Амплитуда колебаний стержня
$A=x_{0}=\frac{Lmg}{B^{2}l^{2}}$.
Два длинных вертикальных провода соединены в верхней части посредством индуктивности $L$. Между проводами горизонтально расположен металлический стержень, который может, касаясь проводов без трения скользить под действием силы тяжести (рис.). Масса этого стержня $m$. Длина стержня и расстояние между проводами $l$. Определите характер движения стержня при существовании магнитного поля с индукцией $\bar{B}$, направленного по нормали к системе Сопротивлением стержня и проводов можно пренебречь.
Решение:
Пусть в начальный момент скорость стержня и ток в контуре равны нулю. Направим ось $Ox$ вертикально вниз и начало отсчета на ней поместим против положения, занимаемого стержнем в момент $t = 0$. Под действием силы тяжести стержень
приходит в движение. За малое время $\Delta t$ стержень проходит путь
$\Delta x = x$. При этом в контуре возникает ЭДС индукции
$\cal{E}=\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=\frac{B \Delta S}{\Delta t}=\frac{B l \Delta x}{\Delta t}$. (1)
и по цепи начинает течь ток. На индуктивности $C$ падает напряжение,
$U=L \frac{\Delta I}{\Delta t}$. (2)
Гик как сопротивления стержня и проводов пренебрежимо малы, то $U= \cal{E}$. Приравнивая правые части (1) и (2), получаем
$\frac{Bl \Delta x}{\Delta t}=L \frac{\Delta I}{\Delta t}$,
или
$Dl \Delta x = L \Delta I$. (3)
На стержень с током действует сила Ампера
$F_{A}=Bl \Delta I$. (4)
Из (3) и (4) находим
$F_{A}=B^{2}l^{2}x/L$.
При смещении стержня от начального положения вниз сила $F_{A}$ будет направлена вверх. Это следует из закона сохранения энергии. При движении стержня вниз его потенциальная энергия частично переходит в кинетическую и частично - в энергию магнитного поля катушки индуктивности. Это означает, что скорость падения стержня в магнитном поле меньше скорости его падения только поле силы тяжести. Следовательно, сила $F_{A}$ совершает работу против силы тяжести и направлена вверх. Для результирующей силы $F$, действующей на стержень, имеем
$F=mg-F_{A}=mg- \frac{B^{2}l^{2}x}{L}=-\frac{B^{2}l^{2}}{L}(x-x_{0})$, (5)
Координату $x_{0}$, определяемую формулой
$x_{0}=\frac{Lmg}{B^{2}l^{2}}$, (6)
можно трактовать как координату некоторого “равновесного положения стержня. Из формулы (5) видно, что при отклонении стержня от этого положения на небольшое расстояние $\Delta x = x – x_{0}$ на него действует сила $F$, прямо пропорциональная величине отклонения $\Delta x$ и направленная в сторону положения "равновесия". Как известно, под действием силы $F = - k \Delta x$ тело массой $m$ возникают гармонические колебания с периодом
$T=2 \pi \sqrt{m/k}$.
В нашем случае $k=B^{2}l^{2}/L$. Таким образом, стержень будет совершать около точки с координатой $x_{0}$ (6) малые гармонические колебания с периодом
$T=2 \pi \frac{\sqrt{mL}}{Bl}$.
В момент прохождения положения "равновесия" скорость стержня максимальна. Нулевую скорость он имеет в начальном положении $(x = 0)$. Амплитуда колебаний стержня
$A=x_{0}=\frac{Lmg}{B^{2}l^{2}}$.
