Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2778
2017-04-13 
Автомобиль, трогаясь с места, равномерно набирает скорость при движении по горизонтальному участку дороги, который представляет собой дугу окружности радиуса 100 м, опирающуюся на угол $30^{ \circ}$. С какой максимальной скоростью автомобиль может выехать на прямой участок пути? Коэффициент трения колес о дорогу 0,3.
Решение:
Заметим, что ускорение автомобиля обусловлено действием силы трения между дорогой и ведущими колесами автомобиля. Если проскальзывание отсутствует, то это будет сила трения покоя, максимальная величина которой $\mu mg$, где $m$ - масса автомобиля. Сила трения колес о дорогу направлена внутрь дуги окружности в сторону движения автомобиля. В данной задаче для каждого момента времени силу трения удобно разложить на касательную и центростремительную составляющие. Касательная сила трения обеспечивает увеличение модуля скорости, а центростремительная — поворот вектора скорости согласно форме траектории.
Напишем уравнения движения автомобиля в точке перехода с закругленного участка дороги на прямой:
$ma_{цс} = F_{тр.н.}, m a_{к} = F_{тр.к.}$.
По условию автомобиль набирает скорость равномерно, то есть $a_{к} = const$. Это означает, что скорость, которую будет иметь автомобиль в конце разгона $v_{в}$, длина дуги $l = \alpha \cdot R = \frac{ \pi}{6} R$ и касательное ускорение связаны формулой: $l = \frac{v_{в}^{2}}{2a_{к}}$.
Отсюда определяем касательное ускорение $a_{к} = \frac{v_{в}^{2}}{2l} = \frac{3v_{в}^{2}}{ \pi R}$.
Учитывая, что центростремительное ускорение $a_{цс} = v_{в}^{2}/R$, уравнения движения можно записать в виде
$F_{тр.н.} = mv_{в}^{2} /R, F_{тр.к.} = m3 v_{в}^{2} / ( \pi R)$.
В момент перехода автомобиля на прямой участок дороги его скорость по условию должна быть максимальной: $v_{в} = v_{max}$. Следовательно, в точке выхода из поворота сила трения должна достигнуть своего максимального значения: $\mu mg$. Из взаимной перпендикулярности составляющих силы трения следует, что
$(F_{тр} )^{2} = (F_{тр.н.} )^{2} + ( F_{тр.к.} )^{2}$.
Подставляя соответствующие значения, найдем максимальную скорость автомобиля: $v_{max} = \sqrt{ \frac{ \mu gR}{ \sqrt{ 1 + (3/ \pi)^{2}}}} \approx 14,6 м/с. \approx 52,5 км/ч$.
Ответ: 52,5 км/ч
Автомобиль, трогаясь с места, равномерно набирает скорость при движении по горизонтальному участку дороги, который представляет собой дугу окружности радиуса 100 м, опирающуюся на угол $30^{ \circ}$. С какой максимальной скоростью автомобиль может выехать на прямой участок пути? Коэффициент трения колес о дорогу 0,3.
Решение:
Заметим, что ускорение автомобиля обусловлено действием силы трения между дорогой и ведущими колесами автомобиля. Если проскальзывание отсутствует, то это будет сила трения покоя, максимальная величина которой $\mu mg$, где $m$ - масса автомобиля. Сила трения колес о дорогу направлена внутрь дуги окружности в сторону движения автомобиля. В данной задаче для каждого момента времени силу трения удобно разложить на касательную и центростремительную составляющие. Касательная сила трения обеспечивает увеличение модуля скорости, а центростремительная — поворот вектора скорости согласно форме траектории.
Напишем уравнения движения автомобиля в точке перехода с закругленного участка дороги на прямой:
$ma_{цс} = F_{тр.н.}, m a_{к} = F_{тр.к.}$.
По условию автомобиль набирает скорость равномерно, то есть $a_{к} = const$. Это означает, что скорость, которую будет иметь автомобиль в конце разгона $v_{в}$, длина дуги $l = \alpha \cdot R = \frac{ \pi}{6} R$ и касательное ускорение связаны формулой: $l = \frac{v_{в}^{2}}{2a_{к}}$.
Отсюда определяем касательное ускорение $a_{к} = \frac{v_{в}^{2}}{2l} = \frac{3v_{в}^{2}}{ \pi R}$.
Учитывая, что центростремительное ускорение $a_{цс} = v_{в}^{2}/R$, уравнения движения можно записать в виде
$F_{тр.н.} = mv_{в}^{2} /R, F_{тр.к.} = m3 v_{в}^{2} / ( \pi R)$.
В момент перехода автомобиля на прямой участок дороги его скорость по условию должна быть максимальной: $v_{в} = v_{max}$. Следовательно, в точке выхода из поворота сила трения должна достигнуть своего максимального значения: $\mu mg$. Из взаимной перпендикулярности составляющих силы трения следует, что
$(F_{тр} )^{2} = (F_{тр.н.} )^{2} + ( F_{тр.к.} )^{2}$.
Подставляя соответствующие значения, найдем максимальную скорость автомобиля: $v_{max} = \sqrt{ \frac{ \mu gR}{ \sqrt{ 1 + (3/ \pi)^{2}}}} \approx 14,6 м/с. \approx 52,5 км/ч$.
Ответ: 52,5 км/ч
