Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2768
2017-04-12 
Мальчик положил небольшой плоский грузик на наклонную горку с углом при основании $\alpha$, а затем поставил горку в кузов игрушечного грузовика (рис. до како скорости нужно разогнать грузовик, чтобы грузик скользил вниз по плоскости? вверх по плоскости? В неподвижном грузовике грузик покоится, коэффициент трения скольжения грузика о горку $\mu ( \mu < 1)$, грузовик может двигаться только по прямой, горка относительно грузовика не смещается.
Решение:
а) Движение вниз по плоскости (рис. а)
Второй закон Ньютона в проекциях: на плоскость: $ma_{1} - ma \cos \alpha = mg \sin \alpha - F_{тр}$
на нормаль: $- ma \sin \alpha = N - mg \cos \alpha$
Отсюда имеем $a_{1} = g( \sin \alpha - \mu \cos \alpha ) + a( \cos \alpha + \mu \sin \alpha)$. Поскольку для движения необходимо $a_{1} > 0$, а $\sin \alpha < \mu \cos \alpha$ (грузик не соскальзывает сам по себе), то
$a > g \frac{ \mu \cos \alpha - \sin \alpha}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha} = g \frac{ \cos ( \alpha + arcctg \mu)}{ \sin ( \alpha + arcctg \mu)} = g ctg ( \alpha + arcctg \mu)$ (1)
Следует также учесть, что грузик не должен отрываться от плоскости, т.е. $N > 0$. Отсюда следует, что $a < g ctg \alpha$. Понятно, что $g ctg ( \alpha + arcctg \mu )$, т.к. котангенс - убывающая функция угла $\alpha$, поэтому существует диапазон ускорений, при которых грузик скользит вниз по горке.
б) Движение вверх по плоскости (рис. б) Второй закон Ньютона в проекциях:
на плоскость: $ma_{2} - ma \cos \alpha = - mg \sin \alpha - F_{тр}$
на нормаль: $ma \sin \alpha = N - mg \cos \alpha$
Отсюда $a_{1} = - g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha) + a( \cos \alpha - \mu \sin \alpha)$. Из условия $a_{2} > 0$ с учетом $1 > \mu > tg \alpha$ имеем
$a > g \frac{ \mu \cos \alpha + \sin \alpha}{ \cos \alpha - \mu \sin \alpha} = g \frac{\sin ( \alpha + arctg \mu)}{ \cos ( \alpha + arctg \mu)} = g tg ( \alpha + arctg \mu)$. (2)
Непосредственным вычислением несложно убедиться, минимальное значение ускорения в этом случае больше, чем в предыдущем..
Ответ: а) $g ctg \alpha > a > g ctg ( \alpha + arcctg \mu)$, б) $a > g tg ( \alpha + arctg \mu)$
Мальчик положил небольшой плоский грузик на наклонную горку с углом при основании $\alpha$, а затем поставил горку в кузов игрушечного грузовика (рис. до како скорости нужно разогнать грузовик, чтобы грузик скользил вниз по плоскости? вверх по плоскости? В неподвижном грузовике грузик покоится, коэффициент трения скольжения грузика о горку $\mu ( \mu < 1)$, грузовик может двигаться только по прямой, горка относительно грузовика не смещается.
Решение:
а) Движение вниз по плоскости (рис. а)
Второй закон Ньютона в проекциях: на плоскость: $ma_{1} - ma \cos \alpha = mg \sin \alpha - F_{тр}$
на нормаль: $- ma \sin \alpha = N - mg \cos \alpha$
Отсюда имеем $a_{1} = g( \sin \alpha - \mu \cos \alpha ) + a( \cos \alpha + \mu \sin \alpha)$. Поскольку для движения необходимо $a_{1} > 0$, а $\sin \alpha < \mu \cos \alpha$ (грузик не соскальзывает сам по себе), то
$a > g \frac{ \mu \cos \alpha - \sin \alpha}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha} = g \frac{ \cos ( \alpha + arcctg \mu)}{ \sin ( \alpha + arcctg \mu)} = g ctg ( \alpha + arcctg \mu)$ (1)
Следует также учесть, что грузик не должен отрываться от плоскости, т.е. $N > 0$. Отсюда следует, что $a < g ctg \alpha$. Понятно, что $g ctg ( \alpha + arcctg \mu )$, т.к. котангенс - убывающая функция угла $\alpha$, поэтому существует диапазон ускорений, при которых грузик скользит вниз по горке.
б) Движение вверх по плоскости (рис. б) Второй закон Ньютона в проекциях:
на плоскость: $ma_{2} - ma \cos \alpha = - mg \sin \alpha - F_{тр}$
на нормаль: $ma \sin \alpha = N - mg \cos \alpha$
Отсюда $a_{1} = - g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha) + a( \cos \alpha - \mu \sin \alpha)$. Из условия $a_{2} > 0$ с учетом $1 > \mu > tg \alpha$ имеем
$a > g \frac{ \mu \cos \alpha + \sin \alpha}{ \cos \alpha - \mu \sin \alpha} = g \frac{\sin ( \alpha + arctg \mu)}{ \cos ( \alpha + arctg \mu)} = g tg ( \alpha + arctg \mu)$. (2)
Непосредственным вычислением несложно убедиться, минимальное значение ускорения в этом случае больше, чем в предыдущем..
Ответ: а) $g ctg \alpha > a > g ctg ( \alpha + arcctg \mu)$, б) $a > g tg ( \alpha + arctg \mu)$
