Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2761
2017-04-12 
Горячий суп, налитый доверху в большую тонкостенную тарелку, охлаждается до температуры, при которой его можно есть без риска обжечься, за 20 мин. Через какое время можно будет есть суп с той же начальной температурой, если разлить его по маленьким тарелкам, которые также заполнены доверху и геометрически подобны большой? Известно, что суп из большой тарелки помещается в 8 маленьких, а количество тепла, отдаваемое в единицу времени с единицы поверхности каждой тарелки, пропорционально разности температур супа и окружающей среды.
Решение:
В процессе остывания внутренняя энергия супа передается в окружающую среду. Согласно условию задачи отданное тепло
$Q = \alpha \Delta T_{ср} St$ (1)
Объем тарелки пропорционален кубу ее характерного размера, а площадь поверхности—квадрату этого размера:
$V = al^{3}, S = bl^{2}$. (2)
Внутренняя энергия супа при одинаковой температуре пропорциональна его массе $Q = cmT$, а, следовательно, объему. Поэтому для остывания большой тарелки выполняется уравнение:
$c \rho VT = \alpha \Delta T_{ср} St$. (3)
Аналогично и для малой тарелки
$c \rho V_{1}T = \alpha \Delta T_{ср} S_{1}t_{1}$ (4)
Поделив (4) на (3), получим:
$\frac{S_{1}t_{1}}{St} = \frac{V_{1}}{V} =n, \Rightarrow t_{1} = t \frac{S}{S_{1}n}$. (5)
Так как тарелки геометрически подобны, коэффициенты в (2) одинаковы как для большой, так и для малых тарелок. Отсюда находим соотношение размеров тарелок:
$n = \frac{V}{V_{1}} = \frac{ al^{3}}{ al_{1}^{3}} = \left ( \frac{l}{l_{1}} \right )^{3}, \Rightarrow \frac{l}{l_{1}} = \sqrt[3]{n} = 2$. (6)
Поэтому
$\frac{S}{S_{1}} = \frac{bl^{2}}{bl_{1}^{2}} = \frac{l^{2}}{l_{1}^{2}}$
Подставив в (5), получаем решение задачи: $t_{1} = \frac{t}{n} \left ( \frac{l}{l_{1}} \right )^{2} = \frac{20 \cdot 4}{8} = 10 минут$.
Ответ: Суп в маленькой тарелке остынет за 10 минут.
Горячий суп, налитый доверху в большую тонкостенную тарелку, охлаждается до температуры, при которой его можно есть без риска обжечься, за 20 мин. Через какое время можно будет есть суп с той же начальной температурой, если разлить его по маленьким тарелкам, которые также заполнены доверху и геометрически подобны большой? Известно, что суп из большой тарелки помещается в 8 маленьких, а количество тепла, отдаваемое в единицу времени с единицы поверхности каждой тарелки, пропорционально разности температур супа и окружающей среды.
Решение:
В процессе остывания внутренняя энергия супа передается в окружающую среду. Согласно условию задачи отданное тепло
$Q = \alpha \Delta T_{ср} St$ (1)
Объем тарелки пропорционален кубу ее характерного размера, а площадь поверхности—квадрату этого размера:
$V = al^{3}, S = bl^{2}$. (2)
Внутренняя энергия супа при одинаковой температуре пропорциональна его массе $Q = cmT$, а, следовательно, объему. Поэтому для остывания большой тарелки выполняется уравнение:
$c \rho VT = \alpha \Delta T_{ср} St$. (3)
Аналогично и для малой тарелки
$c \rho V_{1}T = \alpha \Delta T_{ср} S_{1}t_{1}$ (4)
Поделив (4) на (3), получим:
$\frac{S_{1}t_{1}}{St} = \frac{V_{1}}{V} =n, \Rightarrow t_{1} = t \frac{S}{S_{1}n}$. (5)
Так как тарелки геометрически подобны, коэффициенты в (2) одинаковы как для большой, так и для малых тарелок. Отсюда находим соотношение размеров тарелок:
$n = \frac{V}{V_{1}} = \frac{ al^{3}}{ al_{1}^{3}} = \left ( \frac{l}{l_{1}} \right )^{3}, \Rightarrow \frac{l}{l_{1}} = \sqrt[3]{n} = 2$. (6)
Поэтому
$\frac{S}{S_{1}} = \frac{bl^{2}}{bl_{1}^{2}} = \frac{l^{2}}{l_{1}^{2}}$
Подставив в (5), получаем решение задачи: $t_{1} = \frac{t}{n} \left ( \frac{l}{l_{1}} \right )^{2} = \frac{20 \cdot 4}{8} = 10 минут$.
Ответ: Суп в маленькой тарелке остынет за 10 минут.
