Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2760
2017-04-12 
Цилиндрический пластмассовый стакан имеет дно толщиной 1 см и тонкие стенки. Если опустить его в большой сосуд с водой, то он будет плавать в вертикальном положении, погрузившись на 3 см. Если затем налить в него слой неизвестной жидкости высотой 3 см, то стакан окажется погруженным на 5 см. Сколько еще нужно долить в него этой же жидкости, чтобы ее уровень совпал с уровнем "забортной" воды?
Решение:
Запишем условия равновесия стакана, погруженного в воду. Для пустого стакана:
$mg = S \rho g h_{1}$, (1)
где $\rho$ — плотность воды, $h_{1} = 3 см$ - глубина погружения пустого стакана. Для стакана со слоем жидкости плотностью $\rho_{1}$ высотой $h_{1} = 3 см$:
$mg + S \rho_{1} gh_{1} = S \rho gh_{2}$, (2)
где $S$ - площадь дна стакана, $h_{2} = 5 см$ - глубина погружения стакана с жидкостью. Для стакана с дополнительным слоем жидкости высотой $x$:
$mg + S \rho_{1} g (h_{1} + x) = S \rho g (h_{1} + x + h_{0})$, (3)
где $h_{0} = 1 см$ - толщина дна стакана. Выразив $mg$ из (1) и подставив в (2) и (3), а затем поделив на $Sg$, получим:
$\rho h_{1} + \rho_{1} h_{1} = \rho h_{2}$ и $\rho h_{1} + \rho_{1} (h_{1} + x) = \rho (h_{1} + x + h_{0})$.
Первое из этих уравнений позволяет найти плотность неизвестной жидкости:
$\rho_{1} = \rho \left ( \frac{h_{2}}{h_{1}} - 1 \right )$, (4)
а из второго выражаем искомую глубину $x: ( \rho - \rho_{1} )x = \rho h_{1} + \rho_{1} h_{1}- \rho (h_{1} + h_{0})$,
$x = \frac{ \rho_{1} h_{1} - \rho h_{0}}{ \rho - \rho_{1}}$. (5)
С учетом (4) находим глубину $x$:
$x = h_{1} \cdot \frac{h_{2} - h_{1} - h_{0}}{2h_{1} - h_{2}} = 3 см$.
Ответ: нужно долить слой жидкости глубиной $x = h_{} \frac{ h_{2} - h_{1} - h_{0}}{2h_{1} - h_{2}} = 3 см$.
Цилиндрический пластмассовый стакан имеет дно толщиной 1 см и тонкие стенки. Если опустить его в большой сосуд с водой, то он будет плавать в вертикальном положении, погрузившись на 3 см. Если затем налить в него слой неизвестной жидкости высотой 3 см, то стакан окажется погруженным на 5 см. Сколько еще нужно долить в него этой же жидкости, чтобы ее уровень совпал с уровнем "забортной" воды?
Решение:
Запишем условия равновесия стакана, погруженного в воду. Для пустого стакана:
$mg = S \rho g h_{1}$, (1)
где $\rho$ — плотность воды, $h_{1} = 3 см$ - глубина погружения пустого стакана. Для стакана со слоем жидкости плотностью $\rho_{1}$ высотой $h_{1} = 3 см$:
$mg + S \rho_{1} gh_{1} = S \rho gh_{2}$, (2)
где $S$ - площадь дна стакана, $h_{2} = 5 см$ - глубина погружения стакана с жидкостью. Для стакана с дополнительным слоем жидкости высотой $x$:
$mg + S \rho_{1} g (h_{1} + x) = S \rho g (h_{1} + x + h_{0})$, (3)
где $h_{0} = 1 см$ - толщина дна стакана. Выразив $mg$ из (1) и подставив в (2) и (3), а затем поделив на $Sg$, получим:
$\rho h_{1} + \rho_{1} h_{1} = \rho h_{2}$ и $\rho h_{1} + \rho_{1} (h_{1} + x) = \rho (h_{1} + x + h_{0})$.
Первое из этих уравнений позволяет найти плотность неизвестной жидкости:
$\rho_{1} = \rho \left ( \frac{h_{2}}{h_{1}} - 1 \right )$, (4)
а из второго выражаем искомую глубину $x: ( \rho - \rho_{1} )x = \rho h_{1} + \rho_{1} h_{1}- \rho (h_{1} + h_{0})$,
$x = \frac{ \rho_{1} h_{1} - \rho h_{0}}{ \rho - \rho_{1}}$. (5)
С учетом (4) находим глубину $x$:
$x = h_{1} \cdot \frac{h_{2} - h_{1} - h_{0}}{2h_{1} - h_{2}} = 3 см$.
Ответ: нужно долить слой жидкости глубиной $x = h_{} \frac{ h_{2} - h_{1} - h_{0}}{2h_{1} - h_{2}} = 3 см$.
