Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2755
2017-04-10 
На столе лежит замкнутая в кольцо труба, внутри которой имеются три одинаковых теплоизолирующих поршня (см. рис.). На поршни может действовать сила сухого трения о стенки, достигающая в случае скольжения максимального значения $F = 5 Н$. Поршни закрепили так, что они делят кольцо на три одинаковых отсека объёмом $V = 24.9$ литра каждый. Площадь поршня $S = 10 см^{2}$. В каждом отсеке находится по одному молю идеального газа. Температура газа в первом отсеке составляет $T_{1} = 300 К$. При каких значениях температуры во втором и третьем отсеках $T_{2}$ и $T_{3}$ поршни останутся неподвижными, если их освободить? Укажите на графике с осями $T_{2}, T_{3}$ все возможные точки $(T_{2}, T_{3})$, при которых поршни не сдвинутся. Универсальная газовая постоянная $R = 8.3 Дж/Моль \cdot К$.
Решение:
Обозначим давления газа в 1м, 2м и 3м отсеках через $P_{1}, P_{2}, P_{3}$. С помощью уравнения Клайперона-Менделеева найдём
$P_{1} = \nu RT_{1} /V = 10^{5} Па$
Запишем условия равновесия поршней:
$|P_{1} - P_{2}| \leq F/S$,
$|P_{1} - P_{2}| \leq F/S$,
$|P_{2} - P_{3}| \leq F/S$.
Изобразим на плоскости $P_{2}, P_{3}$ множество точек, координаты которых удовлетворяют данной системе (см. рис. 1). Первое неравенство "вырезает" на этой плоскости горизонтальную полосу шириной $2F/S = 10^{4} Па^, второе - вертикальную полосу, а вместе они "вырезают" квадрат $P_{2,3} \in [ P_{1} - F/S, P_{1} + F/S]$.
Рис. 1
Рис. 2
Нетрудно показать, что третье неравенство задает полосу, симметричную относительно биссектрисы $P_{2} = P_{3}$. При этом границы полосы пересекают границы квадрата в точках $(P_{1} - F/S; P_{1}), (P_{1}; P_{1} + F/S), (P_{1}; P_{1} - F/S)$ и $(P_{1} + F/S; P_{1})$, выделяя шестиугольную ячейку, закрашенную на рисунке черным.
Чтобы найти возможные значения температуры, воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона. Т. к. газ во всех отсеках один и тот же, можно записать уравнение:
$T_{2} = \frac{T_{1}P_{2}}{P_{1}}, T_{2} = \frac{T_{1}P_{3}}{P_{1}}$,
поэтому достаточно изменить масштаб осей множителем $T_{1}/P_{1}$, чтобы получить искомый график.
Ответ: Все требуемые точки образуют шестиугольную ячейку, выделенную чёрным на рис 2.
На столе лежит замкнутая в кольцо труба, внутри которой имеются три одинаковых теплоизолирующих поршня (см. рис.). На поршни может действовать сила сухого трения о стенки, достигающая в случае скольжения максимального значения $F = 5 Н$. Поршни закрепили так, что они делят кольцо на три одинаковых отсека объёмом $V = 24.9$ литра каждый. Площадь поршня $S = 10 см^{2}$. В каждом отсеке находится по одному молю идеального газа. Температура газа в первом отсеке составляет $T_{1} = 300 К$. При каких значениях температуры во втором и третьем отсеках $T_{2}$ и $T_{3}$ поршни останутся неподвижными, если их освободить? Укажите на графике с осями $T_{2}, T_{3}$ все возможные точки $(T_{2}, T_{3})$, при которых поршни не сдвинутся. Универсальная газовая постоянная $R = 8.3 Дж/Моль \cdot К$.
Решение:
Обозначим давления газа в 1м, 2м и 3м отсеках через $P_{1}, P_{2}, P_{3}$. С помощью уравнения Клайперона-Менделеева найдём
$P_{1} = \nu RT_{1} /V = 10^{5} Па$
Запишем условия равновесия поршней:
$|P_{1} - P_{2}| \leq F/S$,
$|P_{1} - P_{2}| \leq F/S$,
$|P_{2} - P_{3}| \leq F/S$.
Изобразим на плоскости $P_{2}, P_{3}$ множество точек, координаты которых удовлетворяют данной системе (см. рис. 1). Первое неравенство "вырезает" на этой плоскости горизонтальную полосу шириной $2F/S = 10^{4} Па^, второе - вертикальную полосу, а вместе они "вырезают" квадрат $P_{2,3} \in [ P_{1} - F/S, P_{1} + F/S]$.
Рис. 1
Рис. 2
Нетрудно показать, что третье неравенство задает полосу, симметричную относительно биссектрисы $P_{2} = P_{3}$. При этом границы полосы пересекают границы квадрата в точках $(P_{1} - F/S; P_{1}), (P_{1}; P_{1} + F/S), (P_{1}; P_{1} - F/S)$ и $(P_{1} + F/S; P_{1})$, выделяя шестиугольную ячейку, закрашенную на рисунке черным.
Чтобы найти возможные значения температуры, воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона. Т. к. газ во всех отсеках один и тот же, можно записать уравнение:
$T_{2} = \frac{T_{1}P_{2}}{P_{1}}, T_{2} = \frac{T_{1}P_{3}}{P_{1}}$,
поэтому достаточно изменить масштаб осей множителем $T_{1}/P_{1}$, чтобы получить искомый график.
Ответ: Все требуемые точки образуют шестиугольную ячейку, выделенную чёрным на рис 2.
